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Eine bezüglich der y-Achse symmetrische Parabel vierter Ordnung hat in P (2|0) eine wendetangente mit der Steigung - 4/3

Bestimmen sie die Funktionsgleichung

Bitte mit Erklärung

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Eine bezüglich der y-Achse symmetrische Parabel vierter Ordnung
hat in P (2|0) eine wendetangente mit der Steigung - 4/3

f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + c

f ( 2 ) = 0
f ´( 2 ) = -4/3
f ´´( 2 ) = 0

Schaffst du die Aufstellung eines Gleichungssystems.

Ansonsten wieder melden.

Avatar von 123 k 🚀

Ja das schaffe ich

Wie geht man dann weiter vor

Das Gleichungssystem Aufstellen. Das hat georg dir doch schon gesagt. Er hat sogar gefragt ob du das schaffst. Probiere es zunächst mal alleine und schreibe deinen Lösungsvorschlag hier rein.

Wenn du das Gleichungssystem dann hast kannst du es lösen. Stichwort: Additionsverfahren. Auch da kannst du deine Lösung hier einstellen oder mit meiner Lösung vergleichen. Dann brauchst du deine Lösung hier nur reinschreiben wenn sie von meiner abweichend ist.

Es reicht die erste Ableitung
und
die Funktion oder die 2.Ableitung einzugeben.

Meine Vorgehensweise war :
Die 3 Angaben auf Grund der Symmetrie aufzustellen.
Natürlich fiel mir auf das ich dann 6 Bedingungen und nur 5
Unbekannte hatte.
Ich war aber zu faul um nachuzudenken und habe dann
alle 6 Bedingungen eingegeben.

Diese Vorgehensweise entspricht einem Computerschachprogramm
welches eine Schachsituation einfach für alle Züge bis zu einer
vorgegebenen Suchtiefe durchspielt ohne zwischenzeitlich oder
vorher Züge auszuschließen.

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f(x) = ax^4+bx^2+c
f '(x) = 4ax^3+2bx
f ''(x) =12ax^2+2b

f(2) = 0

f ''(2) = 0

f '(2) = -4/3

16a+4b+c=0

48a+2b=0
b= -24a

32a+4b=-4/3

...

Kontrolle hier möglich:
https://www.matheretter.de/rechner/lgs
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Achtung. Bei Arndt Brünner muss man 2 Bedingungen wegen der Symmetrie hinzufügen. Wenn der Fragesteller weiß wie diese Bedingungen lauten gibt es einen Pluspunkt.

Hallo gast,

bruenner liefert für

f ( 2 ) = 0
f ' ( 2 ) = -4/3
f '' ( 2 ) = 0

das Ergebnis einer Geraden durch den Punkt ( 2 | 0 )
mit der Steigung -4/3.

Dies würde für die Angaben auch zutreffen.


ein schöner Hinweis. Solche Fälle kommen ab und zu doch einmal vor.

Unter Berücksichtigung der Symmetrie kann man folgende Informationen
dort zusätzlich eingeben

f ( -2 ) = 0
f '( -2 ) = 4/3
f ''( -2 ) = 0

Eigentlich wollte ich das sich der Fragesteller Gedanken macht. Aber weil du so fleißig bist kannst du ja auch überlegen warum ich gesagt habe, dass es langt 2 Bedingungen hinzuzufügen. Und wie diese beiden Bedingungen denn lauten könnten.

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f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(2) = 0

f'(2) = - 4/3

f''(2) = 0

Stelle das Gleichungssystem auf. Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 1/48 ∧ b = - 1/2 ∧ c = 5/3

f(x) = 1/48·x^4 - 1/2·x^2 + 5/3

Bild Mathematik

Avatar von 487 k 🚀

Dreifache Antwort hält 1,5-mal besser als doppelt genäht. :)

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  Ich lese grade den Kommentar


   << Diese Vorgehensweise entspricht einem Computerschachprogramm,
  <<   welches eine Schachsituation einfach für alle Züge
  << bis zu einervorgegebenen Suchtiefe durchspielt,
  <<  ohne zwischenzeitlich oder vorher Züge auszuschließen.


   Also dann bin ICH der Schachgroßmeister.
   Macht euch mal schlau; die Idealisierung des ===> Vulkaniers ===> Mr. Spock von der ===> Enterprise ist längst widerlegt. Dem Psychologen-Ehepaar Margarete & Antonio ===> Damasio gelang es mit seinen Bahn brechenden Forschungen über die ===> Amygdala zu beweisen, dass Kopf + Bauchgefühl zusammen bedeutend schneller und sicherer urteilen als nur der Kopf alleine. Der " Bauch " urteilt instimktiv und schnell; die Kunst besteht gerade darin, möglichst große Anteile des Denkvorganges in den " Bauch " zu verlegen.
   Das merkt ihr, wenn ihr mit Kopf lastigen Aufgaben beansprucht werdet, wo euch der Bauch Null Rat gibt. Z.B. hundert 12-stellige Zahlen addieren; ihr ermüdet rasch und werdet immer Fehler anfälliger.
   Ein guter Schachspieler beherrscht routiniert das Freund-Feind-Denken. Ich gleiche wohl eher dem ===> Go Spieler; was mich Vielen so verhasst macht: Mit einer kombinierten Taktik kreise ich das Problem " von Hinten " ein und schlage immer dann zu, wenn Schüler mit ihren andressierten Standardmetoden es am Wenigsten erwarten.
    Es ist längst bewiesen, dass das Schachspiel algoritmisch lösbar ist. Das nutzt dir aber nichts, weil bei der heutigen Rechenleistung auch das gegenwärtige Weltalter als Rechenzeit bei Weitem zu kurz ist. Auch ich habe es stets abgelehnt, für jede Steckbriefaufgabe die selbe stereotype Strategie zu verfolgen - würde man im Schach ja wohl auch eher vermeiden.
   Ich selbst habe auch nur die berühmten " drei Silvester Mensa "  Über Steckbriefaufgaben rümpft man an der Hochschule höchstens die Nase. Über sowas sind die Profs hoch erhaben. Aber irgendwann erreichte ich den Punkt, wo ich mich fragte: Könnten mich die an der Uni gewonnenen Erkenntnisse nicht überlegen machen, wenn ich Aufgaben auf Schulniveau angehe?
   Einen Schachmeister würdest du ja auch nicht sklavisch kopieren, sondern du trachtest es besser zu machen. Eben ist der Groschen gefallen; stellt euch mir zum Wettbewerb. Besser Machen heißt die Devise.
  Einmal gelang dies sogar dem - ich glaub es war der Mathecoach. Triumphierend schrieb er mir damals den Kommentar " Tadaaa ! "

   Ein Polynom 4 . Grades, das symmetrisch zur y-Achse verläuft, ist eine biquadratische Funktion ( BQF )


    F  (  x  )  :=  x  ^  4  -  p  x  ²  +  q       (  1  )


     Gleich von Anfang an die frohe Botschaft: Wir werden hier keine einzige Ableitung bilden. Wie das?

     ICH habe nämlich meine Hausaufgaben gemacht. Aktion Sokrates; eure Lehrer " wissen gar nicht, was sie nicht wissen " Hinter dem Zufälligen, Unorganisierten, hinter der Erscheinungen Flucht nehmen die nur das Chaotische wahr. Dagegen ich verfüge über ein ausgereiftes System, eine Kategorienlehre der BQF , Acht gepasst; hier kommen diejenigen Freunde auf ihre Kosten, die systematische Spickzettel anlegen wollen.

   Derjenige Parameter, der die ===> Topologie von ( 1 ) alleine bestimmt, ist p . Und zwar zeigt der Graf für p < 0 V-Form so ähnlich wie Parabel . Jedes gerade Polynom nimmt ja auf |R sein absolutes Minimum an; für p < 0 wäre das



             x  (  min  )  =  0  ;  f  (  min  )  =  q       (  2  )



       Intressant ist jetzt der andere Fall p > 0 ; jetzt zeigt der Plot W-Form . Und zwar entspricht ( 2 ) nunmehr der mittleren Spitze des W , einem ( lokalen ) Maximum . Dafür übernehmen die beiden Seitenspitzen des W die Rolle der ( absoluten ) Minima:



          x1;2  (  min  )  =  -/+  sqr  (  p/2  )      (  3a  )

               f  (  min  )  =  q  -  (  p/2  )  ²     (  3b  )



    Ihr wisst, dass zwischen Minimum und Maximum immer auch ein WP zu liegen kommt. Natürlich hat eine Kurve mit W-förmigem Verlauf auch WP . Dies ist eine der einfachsten Übungen, weil hier die strenge Proportionalität zu beachten ist



             x  (  min  )  =  x  (  w  )  sqr  (  3  )     (  4  )



    Zunächst mal fallen mir zu den Formeln ( 2-4 ) die beiden Sprüche ein

    " Man muss das Rad nicht immer wieder neu erfinden. "

   " Eine Zeichnung sagt mehr als tausend Worte. "

    An sich spiele ich euch gegenüber die Rolle des Geheimagenten. Denn der Erfinder dieser Aufgabe wollte bestimmt nicht, dass ihr vor eurem geistigen Auge jetzt schon diesen W-förmigen Verlauf habt.

   Sag ich doch; wir befinden uns hier in der Kategorie W der BQF .

   Das oben Gesagte reicht schon, p zu berechnen. Gegeben war uns x ( w ) ; dann lesen wir aus ( 4 ) ab



       x  (  w  )  =  2  ===>  x  (  min  )  =  2  sqr  (  3  )      (  5a  )


     Jetzt kommt ( 3a ) zum Einsatz



       x  (  min )  =  2  sqr  (  3  )  =  sqr  (  p/2  )    |  ²       (  5b  )

          p / 2  =  12  ===>  p  =  24   (  5c  )      "  Tadaaa  "



     Fassen wir zusammen; ihr sollt verstehen, dass eine EIN-EINDEUTIGE Beziehung besteht



             p  <===>  x  (  w  )        (  6  )



    Und wie pirschen wir uns an q ran? Diejenigen unter euch, die bereits meine Psychologie durchschaut haben, werden füglich erwarten, dass ich mich jetzt genüsslich über die Nullstelle her mache.



           x  (  w  )  =:  x1  =  2         (  7  )



     Als Etappenziel definiere ich: Ich würde gerne die andere Nullstelle x2 kennen lernen.

    Für Zweifler. Wir haben 4. Grad; wegen der Symmetrie sind aber nur die beiden positiven Knoten von Belang. Wie ihr wisst, macht man bei BQF immer diese z-Substitution



            z  :=  x  ²       (  8a  )


     wodurch ( 1 ) zu einer stink gewöhnlichen Parabel wird.



      F  (  z  )  =  z  ²  -  p  z  +  q     (  8b  )



     An sich eine Standardaufgabe aus dem Elementarunterricht. Von einer Parabel sind mir gegeben z1 = 4 so wie p = 24 . WIE ermittelt man z2 und q ???

    An dieser Stelle werde ich wirklich zu eurem Trainer. Denn eure Lehrer haben jenen Bildungsnotstand zu verantworten, dass ihr den Wald vor lauter Mitternachtsformel ( MF ) nicht seht; diese MF raubt euch noch jede Kreativität.

   Das war weiland so bei unserer armen Frau Gumboldt, an der wir unsere Flegeljahre ausließen. Und bei ===> Ly cos arbeite ich ganz dicht am Schüler; wie man es richtig macht, scheint wirklich mein Patent zu sein.

   Vieta das geschmähte Stiefkind; schreibt doch mal den Vieta von ( 8b ) an.

  ( max Zeichen )
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  Hier grad noch der Schluss. Wie geht Vieta?


  
      z1  =  4  ;  p  =  z1  +  z2  =  24  ===>  z2  =  20        (  2.1a  )

                       q  =  z1  z2  =  4  *  20  =  80         (  2.1b  )     "  Tadaaa  "

     F  (  x  )  =  x  ^  4  -  24  x  ²  +  80    (  2.2  )



    Abermals ein Hinweis auf eine Kategorie der BQF . Aus der cartesischen Vorzeichenregel ergibt sich eine notwendige Bedingung, die erfüllt sein muss, wenn so wie hier beide Wurzelpärchen reell sind:




           p  >  0  ;  q  >  0       (  2.3  )




    Was uns jetzt  noch fehlt, ist der ===> Leitkoeffizient k ; wie ich immer spotte, eine " halbe Unbekannte " Z.B. zur Kurvendiskussion trägt dieses k überhaupt nichts bei. Wenn du es ganz genau nimmst, suchen wir gar nicht F ( x ) in ( 1.1 ) , sondern wir wollen



      f  (  x  )  :=  k  F  (  x  )     (  2.4  )



     Immer dann, wenn ich selber Null Bock habe, apelliere ich an deine Eigenleistung; wie könnte man sich dieses k schnitzen?
   Es lässt sich nicht immer vermeiden; ich hatte schon LGS , wo dieses k mit anderen Unbekannten verwurstelt war. Aber wenn du denn Strategie von mir lernen willst: Wenn immer möglich, zerlege dein Problem so, dass du eine Teillösung abliefern kannst für die Normalform des Polynoms, wobei k erst mal unberücksichtigt bleibt.
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Eine bezüglich der y-Achse symmetrische Parabel vierter Ordnung hat in P \((2|0)\) eine Wendetangente mit der Steigung \(m=- \frac{4}{3}\)

Linearfaktorenform der Parabel 4.Grades:

\(f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-8x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-8)\)

Wendepunkt: P \((2|...)\)

\(f''(2)=a(40-2N^2)=0\)

\(N^2=20\)

\(m=- \frac{4}{3}\) an der Stelle \(x=2\):

\(f'(2)=a(-64)=- \frac{4}{3}\)

\(a= \frac{1}{48}\):

\(f(x)= \frac{1}{48}(x^4-24x^2+80)\)

Unbenannt.JPG

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Kann sich noch jemand von den Alteingesessenen erinnern, wer der unsägliche Laberkopf

Beantwortet 25 Feb 2016 von Gast

war?

Zu der Zeit war ich noch nicht hier, aber das selbstverliebte Gesülze erinnert mich an Beiträge in anderen Matheforen.

@abakus: die zwei sind möglicherweise verwandt: https://www.mathelounge.de/user/godzilla

Vielleicht hat ja jemand von Euch Lust, die Antworten und Ideen von godzilla auf den mathematischen Gehalt zu überprüfen. Vielleicht kommen dann auch verwendbare Ansätze zur Lösung von Aufgaben zum Vorschein.

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