Tangente an f(x) = 1 - x + x/e^x im Punkt (0 | f(0))

Question

Aufgabe:

Es sei

\( f(x)=1-x+\frac{x}{e^{x}} \)

(i) Berechnen Sie f'(x) und \( f^{\prime \prime}(x) \) und geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( (0, \mathrm{f}(0)) \) an.

(ii) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für \( \mathrm{n} \geq 2 \) gilt:
\( f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}(x-n)}{e^{x}} \)

(iii) Entwickeln Sie eine Taylorreihe um den Wert \( \mathrm{x}_{0}=0 \).

Answer 1

f(x) = 1 - x + x/e^x = x·e^{-x} - x + 1
f'(x) = e^{-x}·(1 - x) - 1
f''(x) = e^{-x}·(x - 2)

f(0) = 1
f'(0) = 0

Tangentengleichung

t(x) = 1