Welche Gerade durch den Punkt(-1 l 0 ) ist Tangente an den Graphen f?

Question

Gegeben : f(x) = -1/2x² + 2x +2 

Frage : Welche Gerade durch den Punkt(-1 l 0 ) ist Tangente an den Graphen f?

Ich habe wirklich nicht die leiseste Ahnung, wir haben die Aufgabe in der Schule aufgeschrieben, aber ich kann sehr wenig mit dieser Aufgabe bzw. mit dem was wir aufgeschrieben haben anfangen, weil ich die Schritte nicht nachvollziehen kann und ich auch nicht zuordnen kann warum und was wir da aufgeschrieben haben..

Ich schreibe in 1 Woche meine Mathe Klausur und weiß in dem Bereich echt nichts.

Ich bitte um Hilfe und danke euch jetzt schon..

Liebe Grüße

Answer 1

f(x) = -1/2·x^2 + 2·x + 2

f'(x) = 2 - x

(f(x) - 0) / (x - (-1)) = f'(x) --> x = -2 ∨ x = 0

t1(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 2·x + 2

t2(x) = f'(-2) * (x - (-2)) + f(-2) = 4·x + 4

Skizze

~plot~ -1/2*x^2+2*x+2;2*x+2;4*x+4;{-1|0} ~plot~

Comments

Da du aber vermutlich die Lösung hast solltest du eher sagen was du an der Lösung nicht verstehst. Also schreibe alles auf inkl der ersten Zeile die du nicht verstehst und wir können dir dann dazu etwas sagen.

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Schritt 1)

f(x) = -1/2x² + 2x +2

Q( u / -1/2u² + 2u +2)   : wie kommt es, dass wir einen weiteren Punkt namens "Q" hinzugefügt haben und den selben y-Wert eingesetzt haben, also ich versteh da         schon einmal den Zusammenhang nicht

Schritt 2)

f'(x) = - x + 2 : nachvollziehbar ganz normales ableiten

f'(u) = - u + 2 : wieso haben wir aber von f(u) auch nochmal die Ableitung gebildet?

Schritt 3)

 -1/2u² +2u +2 - 0 : u - (-1) = - u + 2 : hierbei verstehe ich weder weshalb wir f(x) mit                                                                "u-(-1) geteilt haben und wie es zu diesem                                                                        Ergebnis kam

Schritt 4) 

u² + 2u = 0    ----->  u( u + 2 ) haben ganz einfach Faktorisiert erhalten

                                                u1 = 0 ,  u2 = -2, das habe ich gecheckt 

schritt 5 ) 

durch Punkt P(-1 l 0 ) und Q( 0 l 2 ) Q2 (-2 l -4 ) <--- ich nehme an das sind die Punkte die wir oben ausgerechnet haben. 

m1 = 2-0 : 0 - (-1) = 2 <----- die erste Steigung der des Graphen/ Tangente

m2= -4-0 : -2-(-1) = 4 <----  die zweite Steigung der des Graphen/ Tangente

Schritt 6)

t1= 2x+b        

b= 2      <----- Gleichung nach b umgestellt, um b herauszubekommen

t2(x) = 4x +b 

b= 4 

t2(x) = 4x + 4 <---- Gleichung nach b umgestellt um b herauszubekommen 

t1(x) 2x+2   t2(x)== 4x+4 

Ich weiß wie ich es schneller verstehe, wie als wenn man mir die Punkte erklärt die ich nicht verstanden habe, man muss mir bitte einfach nur erklären was man gemacht hat und wieso man es getan hat, damit ich die Schritte auch nachvollziehen kann und sich das mein Gehirn besser einprägt, manchmal habe auch das Problem dass wenn wir schon etwas gelernt haben, mein Gehirn das nicht berücksichtigt, aufgrunddessen entwickeln sich dann Missverständnisse, deshalb sollte man mir erklären wieso und weshalb man das und das eingesetzt hat und woher es halt kommt.

ich danke viel Mals und versuche mein bestes es zu verstehen 

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Q( u / -1/2u² + 2u +2)  : wie kommt es, dass wir einen weiteren Punkt namens "Q" hinzugefügt haben und den selben y-Wert eingesetzt haben, also ich versteh da        schon einmal den Zusammenhang nicht

x steht ja eigentlich für alle reelle Zahlen, da du z.B. in f(x) für das x jede beliebige Zahl einsetzen kannst.

u steht hier für feste reelle Zahlen deren Wert du momentan nur nicht weißt.

Manche Lehrer unterscheiden das sehr genau. Im Rahmen der Schulmathematik ist das nicht so wichtig, weshalb ich meist in Rechnungen nur x und nicht u verwende.

f'(u) = - u + 2 : wieso haben wir aber von f(u) auch nochmal die Ableitung gebildet?

Das selbe wie oben. Ich bin der Meinung das man es bei x belassen kann wenn man weiß das das nicht alle reellen Werte sind.

-1/2u² +2u +2 - 0 : u - (-1) = - u + 2 : hierbei verstehe ich weder weshalb wir f(x) mit "u-(-1) geteilt haben und wie es zu diesem Ergebnis kam

Das ist gleich meinem Ansatz

(f(x) - 0) / (x - (-1)) = f'(x)

Auf der linken Seite hat man die Steigung zwischen dem Punkt (-1 l 0) und einem Punkt der Funktion (x | f(x)). Da das ja unsere Tangente werden soll muss es also der Steigung an der Stelle x entsprechen. f'(x)

Die Gleichung enthält nur noch die Unbekannte x oder u und kann zur unbekannten aufgelöst werden. Beim Lösen von Gleichungen kann dir z.B. Photomath helfen.

Du bekommst hier also die beiden x-Werte heraus an denen eine Tangente angelegt durch den Punkt (-1 | 0) geht.

Nun brauchst du also nur noch zu diesen Stellen die Tangentengleichung notieren.

Wie ihr eine Tangente an einen Graphen an einer Stelle aufstellt solltet ihr auch schon seperat gerlernt haben.

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Ich habe jetzt soweit vieles verstanden nur eines was mir noch bis jetzt übrig geblieben ist, ist, weshalb bei mir beim ermitteln der Steigung ein anderer Wert herauskommt als bei uns in der Schule :

m=y²-y^1 : x² - x^1

m= u²+2u+2 - (-0) : u - (-1)  (Das u unter dem Nenner mit dem u² gekürzt bleibt nur noch ein u übrig dann habe ich :

u + 2u + 2 : 1    zusammengefasst sind das :

3u + 2 : 1 = 3u +2   ( Ergebnis sollte aber -u + 2 sein.)

und der andere letzte Punkt woher auf einmal beim Faktorisieren

die also gleich untendrunter die :

u²+2u = 0 hekommen ? ansonsten habe ich alles einigermaßen gut verstanden und bedanke mich herzlich bei dir :)

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(f(x) - 0) / (x - (-1)) = f'(x)

(-1/2·x^2 + 2·x + 2 - 0) / (x - (-1)) = -x + 2

(-1/2·x^2 + 2·x + 2) / (x + 1) = -x + 2

-1/2·x^2 + 2·x + 2 = (-x + 2)·(x + 1)

-1/2·x^2 + 2·x + 2 = -x^2 + x + 2

1/2·x^2 + x = 0

x·(1/2·x + 1) = 0

x = 0 oder x = -2

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Tut mir leid ich kann deine Schritte irgendwie nicht nachvollziehen, weil ich ein anderes Ergebnis herausbekomme

und zu dem wusste ich aber auch nicht, dass man nach dem Gleichzeichen f`(u) hinschreibt und ich habe es mir jetzt auch schon mit u angewöhnt weil ich ja in dem moment u ausrechnen aber zur Rechnung :

Ich habe :

-1/2u² + 2u + 2 : u - ( -1 ) = - u  + 2  l * u +1

-1/2u² + 2u +2 = (-u +2 ) * (u+1)   (-u * u = -u² , -u * 1 = u, 2* u= 2u , 2* 1 = 2)

-1/2u² +2 u + 2 =  u² - u + 2u + 3  ( zusammengefasst: u²  + u  + 3)

-1/2u² + 2u +2 = u² + u + 3      l :-2   ; -2u ; -u²

-1/2 - u +1 = o  ( -1/2 +1 = 0,5 )

Ergebnis = -u + 0,5

Und beim Faktorisieren war mein Frage woher überhaupt das "u² +2u" herkommt,weil ich es nicht zuordnen kann woher das kommt, wie man das ausrechnet weiss ich, trotzdem danke dir

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-1/2u² +2 u + 2 =  u² - u + 2u + 3  ( zusammengefasst: u²  + u  + 3)

Wie kommst du auf die 3 ?

Answer 2

Vielleicht noch die Skizze ( symbolisch ).

Das Steigungsdreick ( rot ) ist

m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) = ( f (x ) - 0 ) / ( x - ( -1 ))
Die Tangentensteigung m ist auch die Steigung des Berührgpunkts f ´( x )
also
f  ( x )  / ( x + 1 ) = f ´( x )
f ( x ) = -1/2 x^2 + 2x + 2
f ´( x )  = -x + 2

Jetzt noch ausrechnen

mfg

Comments

Tut mir leid ich komme irgendwie zu keinem Ergebnis und aus deinem Beispiel kann ich irgendwie noch weniger entlesen, beim obigen vom Coach komme ich nur zu einem anderen Ergebnis aber bei deinem verstehe ich leider den Zusammenhang komplett nicht. trotzdem vielen Dank

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Versuchen wir einmal so :
Du hast einen Punkt ( -1 | 0 ) auf der x-achse.
Dieser Punkt ist ein Drehpunkt für eine
Gerade.
Die Gerade wird gegen den Uhrzeigersinn
gedreht bis die Gerade die Funktion f
berührt und zur Tangente von f wird.

Dies wäre der erste Lernschritt.
Fall s es weiter gehen soll dann wieder
melden.