Für welche Werte ist die Matrix normal

Question

Moin! Ich habe leider das Problem, dass ich nicht wirklich weiß, wie ich an die folgende Aufgabe heran gehe und googlen hat mich nicht weiter gebracht. Vielleicht hat jemand von euch einen Tipp für mich.

Die Aufgabe lautet:

Es sei:

$$ B = \begin{pmatrix} b & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2x2}$$

Für welche Werte des Parameters $$ b  \in \mathbb{C} $$ ist die Matrix B normal?

Answer 1

Es muss gelten $$ A^* A = A \ A^*  $$ also $$ \begin{pmatrix} \overline{b} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} b & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{b} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}   $$

Also $$ \begin{pmatrix} |b|^2 + 1 & \overline{b} - 1 \\ b - 1 & 2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} |b|^2 + 1 & -b + 1 \\ -\overline{b}  + 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Also $$ (1) \quad \overline{b} -1 = -b +1 $$ und $$  (2) \quad b - 1 = -\overline{b} + 1  $$ ergibt $$  \operatorname{Re} b = 1 $$