Von Polynom in Scheitelpunktform. Oder: von x^3+4x^2+5x+2 zu (x+1)(x+2)(x+1)?

Question

ich habe eine Frage zur Umwandlung der Form ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2} .....

als Beispiel habe ich mir mal x^3+4x^2+5x+2 ausgesucht.

Ich würde das ganze jetzt gerne in die Scheitelpunktform umstellen quasi: (x )(x )(x )

Glücklicherweise weiß ich dass es (x+1)(x+2)(x+1) sein muss, da ich durch auflösen auf x^3+4x^2+5x+2 gekommen bin. Aber wie mache ich genau den umgekehrten Schritt?

Comments

EDIT: Zu den Begriffen: f(x)= (x+1)(x+2)(x+1)

ist keine Scheitelpunktform. Hier gibt es keinen Scheitelpunkt.

Du meinst Darstellung in Linearfaktoren. Da kann man dann die Nullstellen ablesen. 

Answer 1

Deine Berechnungen enthalten noch eine Menge Fehler,
aber um diese zu korrigieren ist das Forum ja da.

x³+4x²+5x+2 ausgesucht.
Ich würde das ganze jetzt gerne in die Scheitelpunktform umstellen quas

Die Scheitelpunktform existiert nur für eine Funktion 2.Grades, für eine Parabel.

Du meinst du willst die Nullstellen bestimmen oder die faktorisierte Form
des Terms bestimmen

Voraussetzung : die Funktion schneidet die x-Achse

x³+4x²+5x+2 = 0 = ( 0 ) * ( 0 ) * 0 )

1.Nullstelle : raten oder probieren. Du hast herausgefunden, x = -1

( -1 + 1 ) = 0 => ( x + 1 )

Jetzt hast du
x³+4x²+5x+2 = 0 = ( x + 1 ) * ( 0 ) * 0 )

Durch Umformung der Gleichung ergibt sich die Polynomdivision

x³+4x²+5x+2 : x + 1 = x^2 + 3*x + 2

Jetzt könntest du für x^2 + 3 * x + 2 eine weitere Nullstelle raten und dann eine
erneute Polynomdivision durchführen. Geraten x = -1  =>  ( -1 + 1 )  => ( x + 1 )
x^2 + 3*x + 2 : x + 1 = ....

Den Term x^2 + 3*x + 2 = 0 kann man auch mit der pq-Formel berechnen
x = -1
und
x = -2

Es ergibt sich ( x + 1 ) * ( x + 1 ) * x + 2 ).

Comments

Hallo georgborn,

ich bin mir nicht sicher, wie die Form eines beliebigen Polynoms heisst, das vom Ursprung aus einfach nur verschoben und ggfs. gestreckt wurde.

Man kann ja dann sagen es gilt

\( f(x) = a \cdot (x-d)^n + e \)

Das waere eine allgemeine Form für ein Polynom des Grades n, dass in x Richtung um d und in y Richtung um e verschoben und um a gestreckt wurde.

Fuer eine Parabel ist es die Scheitelpunktform, für ein Polynom dritten Grades koennte man es vielleicht analog Sattelpunktsform nennen, da man die Koordinaten dieses Punktes dann ablesen kann.

Das wuerde dann mit geraden und ungeraden n für n>1, jeweils den Scheitelpunkt oder den Sattelpunkt darstellen.

Gruss

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Hallo snoop.

jede Parabel läßt sich in der Form
f ( x ) = a * ( x - d ) ^2 + e
darstellen.

Jede Funktion 3.Grades läßt sich nicht in der Form
f ( x ) =  a * ( x - d)^3 + d
darstellen.

Beispiel
f ( x ) = 2 * ( x + 3 )^3 + 5
f ( x ) = 2*x^3 + 18 * x + 54 * x + 59

Was wäre wenn das Polynom der Term  wäre
f ( x ) = 2*x^3 + 18 * x + 53 * x + 59

Dann wäre die Schreibweise
f ( x ) =  a * ( x - d)^3 + d
nicht möglich.

mfg Georg

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Hallo georgborn,

ich weiss dass es nicht mit jeder geht. Es gibt aber eben auch Funktionen mit Grad n>2, die eine derartige Darstellung haben. Ich hatte eine derartige Frage gestern oder vorgestern noch, Lu und Der_Mathecoach waren auch beteiligt.

Es gilt

\( \exists f(x) \) mit \( n>2 \) derart dass \( f(x) = a(x-d)^n+e \)

Es gilt NICHT

\( \forall f(x) \) mit \( n>2 \quad \exists f(x) = a(x-d)^n+e \)

Da der Fragesteller oben von der Scheitelpunktform für f(x) mit n=3 spricht, wollte ich klar stellen, dass es etwas vergleichbares geben kann aber nicht muss.

Wäre ja möglich dass derart verschoben Funktionen dritten Grades durchgesprochen wurden, nur der Fragesteller die falsche Bezeichnung für die Funktionsdarstellung verwendet.

Gruss

Answer 2

Mache den Ansatz (x+a)(x+b)(x+c) = x³ + 4x² + 5x + 2. Multipliziere die Klammern aus und mache einen Koeffizientenvergleich. Das ergibt drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Comments

Gedacht habe ich mir folgendes:

x³ + 4x² + 5x + 2 / x + 1 = x^2 + 3x + 2

Polynomdivision

gut haben wir also (x+1)(x )(x )

Fehlt der Rest..

Da dachte ich an die PQ Formel zur Bestimmung der Nullstellen, die Liefert mir dann aber_

x1 = -2  x2 = -1 // -1 und-2 sind ja schon fast richtig leider nur negativ...

(x+1)(x -2)(x -1) != x³ + 4x² + 5x + 2

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die Nullstellen muessen ja das Negative der Zahl bei \( (x-a) \) sein. Denn wenn \( x=a \) ist, wird der Term negativ. Also hast Du das schon richtig gemacht.

Gruss

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Habs nochmal geprüft mit x³ + 4x² + 5x + 2 / x + 1 = x² + 3x + 2  liege ich falsch!

Die Nullstellen sind -1 und -2 ich führe nun erneut eine Polynomdivision aus, aber leider bekomme ich einen Rest...

Es müsste sein: 

x³ + 4x² + 5x + 2 / x - 2

(x^3  + 4x^2  +  5x  +  2) : (x - 2)  =  x^2 + 6x + 17   Rest  36  

 x^3  - 2x^2             

 ————————————————————————

        6x^2  +  5x  +  2

        6x^2  - 12x      

        —————————————————

                17x  +  2

                17x  - 34

                —————————

                       36

Wenn ich einen Rest habe kann das ganze aber nicht aufgehen... Da die Polynomdivision ja aufgehen müsste, wenn ich durch eine Nullstelle geteilt hätte da -2 ja eine ist aber trotzdem ein Rest vleibt verwirrt mich das gerade

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Du musst durch \( (x-x_1) \) teilen. Wenn \( x_1= -2 \) ist, dann muss man durch \( (x - (-2)) = (x+2)  \) teilen.

\( (x -2 ) \) wird ja auch nicht Null wenn man die Nullstelle \( x_1= -2 \) einsetzt.

Gruss

Answer 3

was man immer machen kann ist ein Polynom \( f(x) \) als Produkt von \( (x-x_1) \) und einem anderen Polynom \( p(x) \) darstellen, wobei der Grad von \( p(x) \) um \( 1 \) geringer ist, als der Grad von \( f(x) \). Man erhaelt \( p(x) \) indem man eine Polynomdivision von \( f(x) \) durch \( (x-x_1) \) durchfuehrt. Ist \( x_1 \) eine Nullstelle von \( f(x) \) geht die Division ohne zusaetzlichen Rest auf.

\( f(x) = ( x - x_1) \cdot p (x) \)

\( f(x) : (x-x_1) = p(x) \)

Ist es keine Nullstelle gilt

\( f(x) = ( x - x_1) \cdot p (x) + R\)

Um weiter zu Faktorisieren kann man die Polynomdivision mit weiteren ggfs. dem gleichen Faktor wiederholen.

Beispiel

\( f(x)= x^3 - x^2 -5x -3  \) hat die Nullstelle \( x_3 = 3 \)

Nach Polynomdivision ergibt sich

\( f(x)= (x-3) \cdot (x^2 +2x +1) \)

Hier kann man wegen der 1. Binomischen Formel sehen, dass es eine doppelte Nullstelle bei \( x_{1,2}= -1 \) gibt. Daher folgt

\( f(x) = (x-3)\cdot (x+1) \cdot (x+1) \)

Teilt man dagegen durch keine Nullstelle z.B. \( (x-1) \) erhaelt man

\( f(x) = (x-1) \cdot (x^2-5) - 8 \)

Je nach Funktion kommt man durch einsetzen einer Scheitel oder Wendestelle zu interessanten Ergebnissen.

Gruss