Zeige die Identität und schliesse mit Höldersche Ungleichung auf die Ungleichung

Question

sei \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) stetig differenzierbar mit f(a)=f(b)=0 und

$$ \int_a^b (f(x))^2dx =1$$

Zeige

(1) Die Identität:   $$\int_a^bxf(x)f'(x)dx=-1/2$$

(2) und benutze Höldersche Ungleichung um auf die folgende Ungleichung zu schliessen:

$$\left(\int_a^b(f'(x))^2dx \right) \left(\int_a^bx^2(f(x))^2dx \right)  \geq 1/4      $$

Answer 1

Benutze $$\frac{d}{dx}f(x)^2=2f(x)f'(x)$$ und integriere partiell.

Comments

also:

$$\int_a^bxf(x)f'(x)= x*\frac{(f(x))^2}{2} - \int_a^b\frac{(f(x))^2}{2}dx$$

was ist aber:

$$\int_a^b\frac{(f(x))^2}{2}dx=$$

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$$=1/3*f(x)^3f'(x)$$?

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Sorry habe die Aufgabenstellung nochmals gelesen ist ja alles gegeben. Danke für deine Hilfe :)

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Tip zum  zweiten teil ?