Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösungsmenge des Gleichugssystems A*x=B

Question

A*$$\vec { x } \\ $$=B

Hier die gegebenen Matrizen:

 

A=$$\begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -2 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 2 & 1 & 1 \end{matrix}$$

B=$$\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -6 \\ 1 \end{matrix}$$

Answer 1

1   -1    2    1    0     |    1 
-2   4   -2   -1    3    |    4
0    -2  -2   -1   -3    |   -6
1   -2    2    1    1    |    1  

Esrt mal die erste Spalte "ausräumen" durch
2. Zeile + 2 * 1. Zeile   und    4. Zeile  -  1. Zeile  Das gibt:

1   -1    2    1    0     |    1 
0    2     2   1    3    |     6
0    -2  -2   -1   -3    |   -6
0    -1    0    0    1    |    0  

2. + 3. Zeile gibt in der 3. alles Nullen

1   -1    2    1    0     |    1 
0    2     2   1    3     |     6
0    0     0    0   0     |     0
0    -1    0    0    1    |    0 

2. und 4. tauschen

1   -1    2    1    0     |    1 
0    -1    0    0    1    |    0 
0    0     0    0   0     |     0
0    2     2   1    3     |     6

Jetzt 2* 2. Zeile  zur 4. addieren

1   -1    2    1    0     |    1 
0    -1    0    0    1    |    0 
0    0     0    0   0     |     0
0    0     2   1     5   |     6

und du siehst:  x4 = s  und  x5  =  t   sind freiwählbar.

Dann   2x3 = -s - 5t  + 6  also x3 = -0,5s - 2,5t + 3

alles in die 2. einsetzen

-x2 =  - t    also  x2 = t

alles in die 1. einsetzen

x1 =  t  - 2*( -0,5s - 2,5t + 3) - s

x1 =  t + s  +5t  - 6   -  s  =  4t - 6

also

(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ) = ( 4t-6  ;   t   ;   -0,5s - 2,5t + 3 ;  s  ;  t )

= ( -6 ; 0 ; 3 ; 0 ; 0 ) + s*( 0 ; 0 ; -0,5 ; 1  ; 0 )  + t*( 4  ;  1  ;  -2,5 ; 0 ; 1 )