Beweise durch vollständige Induktion: 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+...+n)^2

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+...+n)^2 für n ∈ ℕ

Answer 1

Wir zeigen das es für n = 1 gilt

1^3 = (1)^2

Das ist offensichtlich. Nun zeigen wir das es für n + 1 gilt unter der Voraussetzung, dass es für n gilt.

(1^3 + 2^3 + ... + n^3) + (n+1)^3 = (1/2*(n*(n+1)))^2 + (n+1)^3 = (1/2*((n+1)*(n+2)))^2

(n^4/4 + n^3/2 + n^2/4) + (n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) = n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1

n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1 = n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1

Das war zu zeigen.

Comments

Ich habe mir erlaubt
1+2+...+n = n*(n+1)/2
zu verwenden.

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Wo kommen die (n⁴/4 + n³/2 + n²/4) her?

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Vielleicht kannst du mal den Term darüber ausmultiplizieren. Der hat vermutlich etwas damit zu tun.

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Ja darauf bin ich auch selber gekommen nur da erhalte ich was anderes raus, und es muss ja auf jeden Fall eine dezimal Zahl an Ende stehen

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Steht doch auch wenn ich das richtig sehe. Kannst du deinen ausmultiplizierten term posten?