Integral. Flächeninhalte zwischen Funktion und x-Achse sind jeweils 4. Parameter bestimmen. fa (x) = x^3 - a^2 x, a > 0

Question

Gegeben ist f_a (x) = x³ - a²x,  a > 0

Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von f_a und der x-Achse eingeschlossenen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?

Answer 1

f_a (x) = x³ - a²x

f_a (x) = x(x^2 - a^2)        | a>0

f_a (x) =x ( x- a)(x+a)

Nullstellen x1 = - a, x2 = 0 und x3 = a

Aus Symmetriegründen Ansatz

± ? 4 = ∫_(0)^{a} x^3 - a^2 x dx

= 1/4 x^4 - 1/2 a^2 x^2  |_(0)^{a}

= 1/4 a^4 - 1/2  a^4  - (0-0) = -1/4 a^4       sicher neg. Daher -4 setzen

-1/4 a^4 = - 4

a^4 = 16

a = ± 2 , da 2^4 = 16

Nach Voraussetzung a> 0 ==> a = 2. 

Answer 2

Mach dir eine Skizze etwa für a=3, damit du weißt, wie der Hase läuft. Bestimme die Nllstellen von f_a(x). Antwort x = ±a oder x = 0. Ansatz: Integral von 0 bis a muss - 4 sein (das Integral ist hier negativ). Also x⁴/4 . a²x²/2 inden Grenzen von 0 bis a ist gleich -4. Dann ist x⁴=16 und x=2.