Fragen zu Formeln zu Wachstumsarten

Question

ich hätte ein paar Fragen zu Formeln die ich im Unterricht

mitgeschrieben habe aber jetzt nicht mehr zu vollständig nachvollziehen kann.

exponentielles Wachstum :

f(x)= a * b ^ x      = a+e^k*x               // Wie kommt man auf diese Gleichung und was ist k ? Und was ist x?

beschränktes Wachstum:

B(x)= S-c*b^x  = S-c*e^-kx             // S ist die Schranke (?) aber was ist hier c (und was ist k und wie kommt man  auf  die Gleichung)

logistisches Wachstum

S

-                                                          // Das soll einen Bruchstrich darstellen

1+a*e^-kx                                        // Diese Formel kann ich leider gar nicht nachvollziehen

 Gute Erklärungen der Variablen würden mir wirklich sehr weiterhelfen.

Danke schonmal für den Aufwand

Comments

Vielen Dank erstmal für die Antworten.

Es wäre super wenn mir jetzt jemand noch das logistische Wachstum erklären könnte.

Answer 1

Beschränktes Wachstum.

B(x)= S-c*b^x  = S-c*e^-kx             // S ist die Schranke (?) aber was ist hier c

Da brauchst du nur den Anfangsbestand

B(0) zu betrachten.

B(0) = S - c* b^0 = S - c * 1 = S - c

==> c = S - B(0) 

und

B(0) = S - c*e^{-k*0} = S - c*1 = S -c 

==> c = S - B(0) 

Also: c ist die Differenz von Grenzbestand und Anfangsbestand. 

 (und was ist k und wie kommt man  auf  die Gleichung)

b^x = e^{-kx}

b ist der Wachstumsfaktor (bzw. besser: der Zerfallsfaktor, da die Differenz zum Zielwert immer kleiner wird, ist b kleiner als 1) 

Hier kommen x-Werte ≠ 0 ins Spiel

b^x = e^{-kx}         |ln

ln(b^x) = ln(e^{-kx})      |ln-Gesetze und Definition

x * ln(b) = -kx       |:x         , erlaubt da x≠0 

ln(b) = -k

k = -ln(b) 

exponentielles Wachstum kannst du ähnlich aufschlüsseln, wie das hier.

Du hast allerdings die Formel falsch notiert. 

Es muss sein: f(x)= a * b ^ x      = a *e^(k*x)    

b > 1  für Wachstum 

b< 1 für Zerfall 

Logistisches Wachstum überlasse ich jemand anderem. 

Studiere schon mal: https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

Answer 2

k ist die Wachstumskonstante

Es gilt: b^x = e^{k*x} ---> b = e^k

Es sind zwei Möglichkeiten für denselben Sachverhalt.

b ist der Wachstumsfaktor.

Answer 3

Du hast dir viel vorgenommen.

Fangen wir einmal mit a.) an.

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten.

f ( x ) = 2^x

Die Basis ist beliebig. 2,3 π, e ( 2.71 )

Das bekannteste Beispiel einer Exponentialfunktion ist die Zinseszinsrechnung.

Zinsfuß 4 %
Zinsfaktor 1.04
Anfangskapital 1000 €

Nach 1.Jahr : 1000 * 1.04 = 1040 €
Nach 2. Jahren : 1.Jahr * 1.04 = 1000 * 1.04 * 1.04 = 1000 * 1.04^2 = 1081.60 €
Nach 3 jahren : 1000 * 1.04^3
usw

K ( x ) = K0 * 1.04^x

Jede Exponentialfunktion kann in eine Exponentialfunktion mit anderer Basis
umgewandelt werden.

f(x)= a * b ^ x      = a * e^{k*x}   
// Wie kommt man auf diese Gleichung und was ist k ? Und was ist x?

a * b^x = a * e^{k*x}  | : a
b^x = e^{k*x}  | ln ()
ln ( b^x ) = ln ( e^{k*x} )
x * ln(b ) = k * x * ln (e)  | ln ( e ) = 1
x * ln(b ) = k * x * 1 | : x
ln(b) = k
k = ln ( b )

a * b^x = a * e^{k*x}
a * b^x = a * e^{ln(b)*x}

Der ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion
ln und e haben sich auf.
ln ( e ) = 1

Ich höre hier zunächst einmal auf.
Ist vielleicht schon etwas viel.