Mehrdimensionale Kettenregel Gradient berechnen

Question

Hi,

Satz 6.7.15 (a):

 Soweit ich weiß bedeutet

$$\triangledown G(x,u,v)=\left( G(x,u,v)\frac { d }{ dx } ,G(x,u,v)\frac { d }{ du } ,G(x,u,v)\frac { d }{ dv }  \right) ^{  }$$

und es gilt

$$ G(x,u,v)\frac { d }{ dx } ={ \frac { 1 }{ x } { e }^{ xy }| }_{ y=u }^{ y=v } $$

(Ableitung nach x ins Integral gezogen und dann nach y Integriert)

Aber

$$ G(x,u,v)\frac { d }{ du } =-\frac { { e }^{ xu }+{ e }^{ u } }{ u } \frac { d }{ du }  $$

oder?

Nach Satz Satz 6.7.15 (a) gilt doch:

$$ G(x,u,v)\frac { d }{ du } =\left( \int _{ u }^{ v }{ \frac { { e }^{ xy }+{ e }^{ y } }{ y } dy }  \right) \frac { d }{ du } =\left( -\int _{ v }^{ u }{ \frac { { e }^{ xy }+{ e }^{ y } }{ y } dy }  \right) \frac { d }{ du } =-\frac { { e }^{ xu }+{ e }^{ u } }{ u } \frac { d }{ du }  $$

Wo liegt mein Denkfehler?

Comments

Wenn Du den Differentialoperator \(\frac{d}{du}\) rechts dranschreibst, dann solltest Du den vielleicht auch rueckwaerts notieren: \(\frac{d}{ud}\). In jedem Falle sollte er nach der Anwendung nicht immer noch dastehen.

Bisher hast Du zwei partielle Ableitungen von \(G\) ausgerechnet. Wie geht es weiter?

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Habe ich ihn angewendet? Wenn ja, wo?

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Deine letzten beiden Formelzeilen, wo am Ende immer noch \(\frac{d}{du}\) hinten dran steht?

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Das ist ja gerade meine Frage: WO habe ich da abgeleitet? Ich habe doch nur Satz 6.7.15 angewendet und eine Stammfunktion gefunden, oder?

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Der Satz ist nicht zum "Finden" von Stammfunktionen da. Vielmehr sagt er aus, dass $$\frac{d}{dx}\int_c^x f(t)\,dt=f(x)$$ ist. Das ist des Hauptsatzes erster Teil, der für stetige Funktionen die Existenz einer Stammfunktion garantiert. Den hast Du in Deiner letzten Formelzeile zur Berechnung der Ableitung nach \(u\) verwendet, und deshalb darf da am Ende kein Differentialoperator \(\frac{d}{du}\) mehr stehen, weil der eben gerade schon angwandt wurde!

In Kurzform geht die ganze Rechnung so: $$g'(x)=G_x+G_uu_x+G_vv_x.$$ \(G_x\) hast Du richtig ausgerechnet, indem Du unter dem Integral differenziert hast, \(G_u\) auch. Und zwar mit dem Hauptsatz, auch wenn Du es nicht gemerkt hast., und am Ende noch \(\frac{d}{du}\) steht. Das gehoert da nicht mehr hin! Wer hat Dir ueberhaupt beigebracht, das rechts an die Funktion zu schreiben??

Hier kannst Du nebenbei sehen, was rauskommen muss:

https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral#Leibnizregel_f.C3.BCr_Parameterintegrale