Berechne dazu die Determinate von M - x*E
also von der Matrix, bei der du von jedem Diagonalelement die Var. x subtrahierst.
Das wäre hier -x^3 + 9x^2 - 26x + 24 und das hat die
Nullstellen 2 und 3 und 4.
Das sind die Eigenwerte.
Zu jedem dieser Eigenwerte bestimmst du die Eigenvektoren über
den Ansatz ( M - Eigenwert*Einheitsmatrix) * ( x1;x2; x3) ^T = 0
Das gibt z.B. beim Eigenwert 2 dann das homogene Gl.syst. mit der Matrix
1 1 0
1 1 0
-1 1 1
also kann man z.B. x1 frei wählen, etwa x1 = t
dann hast du x2 = - t
und x3 = 2t also Lösungen der Art ( t ; -t ; 2t ) bzw.
Vielfache von ( 1 ; -1 ; 2 ) Und damit ist ( 1 ; -1 ; 2 )ein
Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Wenn du das bei den anderen Eigenwerten auch machst, findest du
eine Basis von R^3 aus lauter Eigenvektoren. Und
bzgl. dieser Basis hat die zu M gehörige Abbildung dann eine
Diagonalmatrix.
Man sieht daran, in welche Richtungen die Abbildung wie eine
Streckung wirkt.
