Maximum der Bateman-Funktion: B(t) = G0 · β/(β-α) · (e^{-α·t} - e^{-β·t})

Question

Der Blutspiegelverlauf eines oral verabreichten hydrophilen Arzneistoffs wird oft mittels der sogenannten Bateman-Funkfion:

B(t) = G0 · β/(β-α) · (e^{-α·t} - e^{-β·t})

modelliert. Dabei ist G0 der Wirkstoffgehalt des Arzneistoffs, die Eliminatiosgeschwindigkeitsrate alpha > 0 beschreibt den Abbau des Wirkstoffs im Blut, und die Resorptionsgeschwindigkeitsrate beta > 0 betrifft die Anflutung des Wirkstoffs in das Blut. Wir nehmen alpha ungleich beta an.

(i) Begründen Sie, dass die Bateman-Funktion ein eindeutiges Maximum annimmt, und bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem es angenommen wird, sowie den Maximalwert der Bateman-Funktion.

(ii) Skizzieren Sie den Graph der Bateman-Funktion B(t) für t >= 0.

(iii) Eine wichtige Maßzahl ist die absolute Bioverfügbarkeit, diese entspricht dem Integral

Integralzeichen obere Grenze unendlich untere 0  B (u) du

der durch die Bateman-Funktion beschriebene Blutspiegelkurve. Bestimmen Sie diesen Wert.

Comments

Sind noch Werte für G0, alpha und beta gegeben oder ist das alles anhand von Parametern zu machen.
Das wird gerade im Hinblick auf eine Skizze schwierig, weil man nicht weiß, welche Werte verwendet werden sollen

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Was bedeutet

  G0 beta/beta

  mathematisch ? beta/beta = 1 ? Was für ein Zeichen steht zwischen G0  und beta/beta ?

  mfg Georg

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Bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Bateman-Funktion

ist bei der Funktion auch der erste Exponent negativ. Schau mal ob das bei dir auch so ist.

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ich habe leider keine Werte für beta alpha und G0


zwischen G0 und beta/beta steht nichts, also ich nehme an das es mal sein soll

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ja ich habe mich verschrieben... es muss heißen:

B(t) = G0 · β/(β - α) · (e^{-α·t }- e^{- β·t})

Answer 1

Ableitungen:

B(t) = G0·b/(b - a)·(e^{- a·t} - e^{- b·t})
B'(t) = G0·b/(b - a)·(b·e^{- b·t} - a·e^{- a·t})
B''(t) = G0·b/(b - a)·(a^2·e^{- a·t} - b^2·e^{- b·t})

F(t) = G0·b/(b - a)·(e^{- b·t}/b - e^{- a·t}/a)

Das Maximum liegt bei:

B'(t) = 0
b·e^{- b·t} - a·e^{- a·t} = 0
t = ln(a/b)/(a - b)

B(ln(a/b)/(a - b)) = G0·(a/b)^{a/(b - a)}
B''(ln(a/b)/(a - b)) = - b^2·G0·(a/b)^{b/(b - a)} [immer negativ daher Maximum]

Max(ln(a/b)/(a - b) | G0·(a/b)^{a/(b - a)})

Absolute Bioverfügbarkeit

F(∞) - F(0) = 0 - (- G0/a) = G0/a

Comments

vielen Dank :)!!! Und das mit der Skizze geht nicht oder?

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Solange man keine definitiven Werte hat geht das nicht. So gibt es unendlich viele Funktionen. Du kannst dir natürlich jetzt für G0 für alpha und beta Werte ausdenken und es dann mit diesen Werten zeichnen.

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Wie kommt man genau auf B(ln(a/b)/(a - b)) = G0·(a/b)a/(b - a)? Und auf B''(ln(a/b)/(a - b)) = - b2·G0·(a/b)b/(b - a)?

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Man setzt für t den Term ln(a/b)/(a - b) ein und vereinfacht dann das ganze. Probier es mal.

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Wie genau kommt man auf die Lösung t=ln(a/b) / (a-b)?

Ich komme ständig auf t=ln(a/b) / (a+b).

Kann mir das jemand erklären? Am besten ausgehend von b*e^-bt - a*e^-at = 0

 !

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b·e^{- b·t} - a·e^{- a·t} = 0

b·e^{- b·t} = a·e^{- a·t}

LN(b) - b·t = LN(a) - a·t

a·t - b·t = LN(a) - LN(b)

(a - b)·t = LN(a/b)

t = LN(a/b) / (a - b)

 

Bitte stelle das nächste mal deine Lösung ein damit wir es verbessern können.