Exponentialfunktion Arzneistoff Diclofenac

Question

Der entzündungshemmende Arzneistoff Diclofenac wird im Körper exponentiell abgebaut. Seine wirksame Menge im Körper halbiert sich im Mittel alle 1,5 Stunden. Jemand nimmt um 16:00 Uhr eine Tablette mit der Wirkstoffmenge von 50mg ein.

1) Gib an, nach welcher Zeit die wirksame Menge im Körper auf 20mg bzw. auf 10mg gesunken ist.

2) Gib die Funktion an, die der abgebauten Wirkstoffmenge die seit der Einnahme vergangene Zeit zuordnet.

Answer 1

f(t) = 50*a^t

a bestimmen:

0,5=a^{1,5}

a= 0,5^{1/1,5} = ...

20= 50*a^t

a^t= 20/50= 0,4

t= ln0,4/ln a = ...

Analog für 10 mg.

Answer 2

Ist eine Halbwertzeit angegeben empfiehlt es sich
diese als Basis für die Exponentialfunktion 1/ 2 bzw.
0.5 zu wählen. Denn

Restmenge = Anfangsmenge * 0.5^x

für den Exponenten
x = 1 ergibt sich 0.5^1 = 0.5, also
die Hälfte der Ausgangsmenge.
x = 2 ergibt sich ß.5^2 = 0.25.
Nach 2 Zeitintervallen ist nur noch 1/4
der Ausgangsmenge vorhanden.

Jetzt muß nur noch der Exponent mit dem
Zeitintervall skaliert werden
Zeitintervall = 1.5  soll zu Exponent = 1
werden.

0.5^{x/1.5} für x = 1.5 = 0.5^1
weiteres Beispiel
0.5^{x/1.5} für x = 3 = 0.5^{3/1.5} =0.5^2 = 0.25

Die Formel ergibt sich zu
b ( x ) = 50 * 0.5^{x/1.5}

1) Gib an, nach welcher Zeit die wirksame Menge
im Körper auf 20mg bzw. auf 10mg gesunken ist.

b ( x ) = 50 * 0.5^{x/1.5} = 20

0.5^{x/1.5} = 20 / 50  | ln ( )
ln ( 0.5^{x/1.5} ) = ln ( 20 / 50 )
x/1.5 * ln ( 0.5 ) = ln ( 20 / 50 )
x/1.5 = ln ( 20 / 50 ) ( ln 0.5 ) )
x = ln ( 20 / 50 ) ( ln 0.5 ) ) * 1.5
x =  1.98 Std