Springender Ball : Anfangshöhe gesucht

Question

Aus welcher Höhe h muss ein ideal elastischer Ball fallen gelassen werden, damit er nach dem Aufspringen im  Punkt B landet?

 

Also Gegben :  B = (u | v) ,  Gesucht  A = (0 | h)

Wie rechnet man so was ?

Comments

Soll man sich g als schiefe Ebene vorstellen? 

Wenn ja, kannst du aus dem Auftreffwinkel den Abflugwinkel bzw. f ' (0) berechnen. 

Weiter kennst du f(0). 

Dann kommt noch die Stossphysik ins Spiel.

Answer 1

Du weißt die Gerade hat die Steigung m = v/u.

Zunächst hätte ich versucht die Steigung des Balls im Absprung der Schiefen Ebene zu ermitteln.

Ich komme da auf 

m2 = (v^2 - u^2)/(2·u·v)

Damit könnte ich die Parabel aufstellen, die die Flugbahn der Parabel beschreibt

y = (u^2 + v^2)/(2·u^2·v)·x^2 - (u^2 - v^2)/(2·u·v)·x

Skizze:

Das sieht skizzenhaft jetzt schon recht brauchbar aus. Aus der gegebenen Flugbahn braucht man jetzt nur noch einen Rückschluss auf die Geschwindigkeit machen und das über den Energieerhalt auf die dafür notwendige Höhe umrechnen.

Das dürfte aber dann auch nicht mehr schwer fallen.

Darf ich fragen aus welchem Bereich diese interessante Aufgabe stammt? Mathe, Physik, Oberstufe oder Studium ? Eventuell Fachrichtung?

Comments

Danke.
Ich komme auf  h = - (u²+v²)/(8v) .  Stimmt das?
Es war ein Zulassungstest.

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Hallo mathecoach,

wie kommst du auf m2 ?
m2 = (v² - u²)/(2·u·v)
Steigungswinkel des abspringenden Balls ?

Bisher habe ich nur
Winkel der schiefen Ebene
alpha = abs (arctan( v/u) )

Absprungwinkel = 90 - 2 * alpha

mfg Georg

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m2 = tan(absprungwinkel)

Und dann wirfst du das dem nächstgelegenen matheprogramm wie wolframalpha vor. da brauch ich selber gar nicht bei helfen.

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Leider kann ich mit meiner Lösung keine " eine " Herieitung 
von v entwickeln.

Es wäre schon interessant für mich zu erfahren wie du auf
m2 = (v² - u²)/(2·u·v)  kommst.
Ist eine geometrische Skizze möglich ?

ich probiere jetzt aber auch Wolfram aus.

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Der Ansatz ist ja 

m2 = TAN(pi/2 + 2·ATAN(v/u))

Benutze tan(z) = sin(z) / cos(z)

Benutze sin(z + pi/2) = cos(z)

Benutze COS(ARCTAN(z)) = √(1/(z^2 + 1))

Benutze COS(z + pi/2) = - SIN(z)

Benutze SIN(2*z) = 2*SIN(z)*COS(z)

Benutze COS(ARCTAN(z)) = √(1/(z^2 + 1))

Benutze SIN(ARCTAN(z)) = z * √(1/(z^2 + 1))

Vereinfache dann den Term und du kommst zum Ergebnis.

m2 = (v^2 - u^2)/(2·u·v)

Man könnte auch zunächst m = v/u substituieren, dann umformen und am Ende rücksubstituieren.

Zugegeben diese Umformungen sind für Hamburger Abiturienten fast ein Ding der Unmöglichkeit. Die Abiturienten aus Bayern sollten das aber eigentlich hinbekommen.

Eventuell ist auch eine Geometrische Skizze möglich. Da wüsste ich aber momentan nicht wie.

Weil ich auch nicht genau wusste was man voraussetzen darf, wollte ich gerne wissen in welchem Rahmen diese Aufgabe gestellt worden ist.

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Hallo mathecoach,

ich werde mir die Umformungen genau anschauen.

Hier mein erster Eindruck : ich habe mir Diff-und Intrechnung
selbst beigebracht u.a. auch durch Nutzung von www.abiturloesung.de

Hier liegen bayerische Abiturklausuren als Video / Unterrichtsstunde,
Aufgabenstellung und Lösungen vor. Aus den letzten 25 Jahren.

So schwer wie diese Umformungen war keine Aufgabe. Die
Umformungen  hätten nur 0.1 % der bayerischen Abiturienten hinbekommen.

How, ich habe gesprochen.

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Eventuell ist auch eine Geometrische Skizze möglich. Da wüsste ich aber momentan nicht wie.

Das ist sogar noch viel einfacher.
Mit einem Punkt (r|s) auf der Absprungtangente wird nämlich (r | s+√r²+s²)) ein Punkt auf der Winkelhalbierenden zwischen dieser und der y-Achse; diese Winkelhalbierende steht senkrecht auf g und damit lässt sich m2 = s/r = (v² - u²)/(2·u·v) problemlos herleiten.

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Achso. Auch ich komme auf 

h = - (u^2 + v^2)/(8·v)

Aber zugegeben ohne CAS das ganze herzuleiten und durchzurechnen hätte ich auch keine Lust gehabt.

Bliebe jetzt nur noch das Ganze in der Realität auszuprobieren.

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Juhu,

ich habe auch einen Weg gefunden eine Formel aufzustellen.
Für
u = 10 und v = -5
( v in deiner Formel muß wohl negativ eingesetzt werden  ).
ergibt sich h = 3.125

Beide Berechnungen haben dasselbe Ergebnis.

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Ja. v ist ja die negative Koordinate und ist daher ein negativer Wert.