Hier steht ja die ständige Mahnung; gestalte deine Antwort so einfach wie möglich. Es wurde mir nicht immer gedankt; viele meiner Antworten wurden platt gemacht. Und zwar immer dann, wenn ich eine Abkürzung gegenüber dem mühsamen offiziell vorgeschriebenen Weg gesucht hatte. Schau dir mal die Struktur des Trägheitstensors T an; alle Hauptdiagonalelemente ( HDE ) sind gleich. Diese Komponente ist offensichtlich ein Beitrag der Einheitsmatrix. Und alle NDE sind auch alle gleich; dies berücksichtige ich durch die " Elementarmatrix " L
1 1 1
L := 1 1 1 ( 1 )
1 1 1
Ich weiß jetzt nicht, wie du tickst. Ob du erst mal alles schluckst, was ich dir vorsetze. Ich meine der Einwand läge doch nahe, warum trenne ich nicht den Einfluss von HDE und NDE? Wieso besitzt L seinerseits HDE? Nun ich habe etwas experimentiert; im Englischen würde man sagen " The structure of L is not straightforward; it would not come ready to mind. " In diesem L steckt echt Knoff Hoff .
Vielleicht sollte ich doch noch Eines voraus schicken. Da es sich bei Matrizen um eine im Wesentlichen nicht kommutative Algebra handelt, sind bis Heute alle Versuche gescheitert, die Zaubertricks genialer Könner und Künstler zu ersetzen durch mehr Systematik
Betrachte doch mal die zweiparametrige Matrizenschar
T ( a ; b ) := a * 1| + b L ( 2 )
Ich wage ja gar nicht daran zu denken. Hier lese ich immer zu dem Tema Kurvendiskussion & Steckbriefaufgaben
" Grafen & Funktionen kenne ich. Aber hier sollen wir eine ganze FunktionenSCHAR untersuchen, die von dem Parameter a abhängt. Hilfe. "
Und in ( 2 ) sollst du dir nicht nur eine Matrix vorstellen, sondern die ist gleichzeitig noch eine Funktion von ZWEI reellen Parametern a und b . Was wirst du kriegen? HDE = a + b so wie NDE = b Denk ruhig nochmal nach; die beiden Zahlen oben im Aufgabentext könnten beliebig sein. Nicht nur 5 und 8 ; mit ( 2 ) gelingt es dir, jeden Trägheitstensor zu modellieren.
Wie sieht jetzt das Eigenwertproblem von T aus? Hier greift eine Schlussregel, die typisch ist für die Matrizenalgebra. Da die Einheitsmatrix mit jeder Matrix vertauscht, besitzen T und L die selben Eigenvektoren; die Eigenvektoren von T sind konstant und hängen NICHT von den Parametern a und b ab. So etwas macht man oft in der Matematik; man geht den Schritt vom Konkreten hin zu einer geeigneten Abstraktion. Von der konkreten T-Matrix zu einer Matrizenfunktion.
Und die EigenWERTE? Wenn wir einmal das Eigenwertproblem von L gelöst haben, so auch für alle T ( a; b ) Seien E1;2;3 die Eigenwerte von T so wie e1;2;3 die von L . Dann gilt der Zusammenhang
E1;2;3 ( a ; b ) = a + b e1;2;3 ( 3 )
Ich sagte schon, für die Form ( 1 ) habe ich mich nicht aus Jux und Tollerei entschieden. Für das Eigenwertproblem von L zu lösen, benötigen wir nämlich keine Säkulardeterminante und Pipapo . Wir kommen mit elementaren Kenntnissen durch. L ist eine ( quadratische ) n X n Matrix mit n = 3 . Bedenke die Identität
Rang ( L ) + dim Kern ( L ) = n = 3 ( 4 )
Offensichtlich hat L den Rang Eins . Dann folgt mit ( 4 ) , dass der Kern Dimension 2 hat.
Du kennst doch den Witz; und? Was sagt uns das? Nix.
Und was haben wir davon? Wieder nix . . .
Mal Spaß bei Seite; Diktat für das Regelheft
" Der Kern einer Matrix ist nichts anderes als ihr EIGENRAUM zum EIGENWERT NULL . "
Mal Hand auf die hohle Heldenbrust; hättest du's gewusst? Anfängern verschweigt man das immer so geflissentlich. Es wird dir noch von großem Nutzen sein.
Stell doch mal in ( 1 ) das LGS auf für Eigenwert Null. Drei Mal wirst du auf die selbe Gleichung geführt
E := x + y + z = 0 ( 5a )
( 5a ) ist die Gleichung einer ===> Ebene; und eine Ebene ist ja auch zweidimensional wie erwartet.
Das heißt aber doch; wir haben ===> Entartung . In ( 3 ) ist zu setzen e1 = e2 = 0 ; und dann folgt eben E1 = E2 = a . Sämtliche Drehachsen, die in obige Ebene ( 5a ) fallen, haben das selbe Trägheitsmoment a .
Anschaulich würde man es grad andersrum formulieren. Sei u die Achse, die auf E senkrecht steht. Eine Drehung um u um den Winkel ß wird vermittelt durch eine ( lineare ) ===> unitäre Matrix U ( ß ) ( Was unitäre Matrizen sind, dürfte dir nicht ganz fremd sein, wenn du dich schon dem Eigenwertproblem Hermitescher Operatoren zuwendest. ) In allen Physikbüchern steht: u ist Eigenvektor von U zum Eigenwert Eins.
Nun respektieren aber unitäre Matrizen die Eigenschaft des senkrecht Stehens; d.h. jeder Vektor v € E wird transformiert in ein U v € E Letzteres, weil ja E auf u senkrecht steht. Und beide, so wohl v als U v , haben das selbe Trägheitsmoment; der durch T beschriebene Körper ist DREHSYMMETRISCH bezüglich der Achse u .
Da ja L Hermitesch ist, bildet u gleichzeitig den dritten Eigenvektor ( Weil verschiedene Eigenvektoren ja immer aufeinander senkrecht stehen. ) Und wieder greifen wir zu einem Trick, um uns die Koordinaten dieses Vektors zu besorgen.
Warst du schon in der Vorlesung ===> D & I 2 ( Oder hast du schon mal in den Courant-Hilbert Band 2 geschaut? ) Abermals gehe ich den Weg vom Konkreten zum Abstrakten. In ( 5a ) rüsten wir E zu einer 8 linearen ) Funktion auf
E : |R ³ ===> |R ( 5b )
( x | y | z ) ===> w = x + y + z ( 5c )
Wie soll man sich Abbildung ( 5bc ) anschaulich vorstellen? Es scheitert irgendwie daran, dass du keine 4. Dimension hast. Sonst könntest du her gehen und " senkrecht über " jedem Punkt ( x | y | z ) der Definitionsmenge den Bildpunkt w abtragen; der Graf wäre eine ===> Hyperebene in |R ^ 4.
Veranschaulichen tut man sich die 4. Dimension bekanntlich, indem man in ( 5c ) die dritte Variable z unterdrückt. Dann nämlich stellt der Graf eine stink normale Ebene in |R ³ dar; so Funktionen w = w ( x ; y ) kannst du auch online mit verdeckten Kanten plotten.
Es gibt aber auch eine alternative Darstellung. Unterdrücken wir zunächst wieder z . Dann bleibst du in der ( x / y ) Ebene und verbindest alle Punkte w = w ( x ; y ) = const durch eine Höhenlinie . In ( 5c ) gäbe das z.B. - z hatten wir ja unterdrückt - eine Geradenschar, die parallel verläuft zur fallenden Winkel Halbierenden. Und der ===> Gradient dieser Schar steht senkrecht auf jeder Höhenlinie und gibt die Richtung des steilsten Anstiegs an. Darauf wollte ich hinaus.
Wenn du jetzt z wieder herein nimmst, werden aus den HöhenLINIEN NiveauFLÄCHEN . Aber das Konzept des Gradienten überlebt; in ( 5c ) wäre das ( max Zeichen )
