Zeigen: f ist injektiv, genau dann wenn g: B -> A mit g * f = idA existiert:

Question

folgendes muss ich beweisen:
A, B nichtleere Mengen und f: A -> B eine Abbildung.
f ist genau dann injektiv, wenn eine Abbildung g: B -> A mit g*f = id_A existiert.

Beweis:
"=>" Sei f injektiv, dann gilt f(x₁) = f(x₂) für x₁, x₂ aus A woraus x₁ = x₂ folgt. Somit wird für jedes x aus A genau ein unterschiedliches f(x) aus B zugeordnet. Damit existiert immer ein eindeutiges a aus A. Ist g: B -> A, b -> a eine Abbildung, dann gilt für jedes g(b) = a, ∀b∈B. Sei nun a aus A beliebig, dann gilt ∀a∈A: (g*f)(a) = g(f(a)) = g(b) = a = id_A(a)

Die Rückrichtung folgt analog.
Ist mein Beweis richtig? Ich bin gerade vom ersten Kapitel an den Aufgaben dran, und bin manchmal etwas Ahnungslos. Ich zweifel solangsam daran, ob Mathematik das richtige für mich ist, obwohl ich immer Freude an der Mathematik hatte. Ich fühle mich ehrlich gesagt total ahnungslos und blöd. Entschuldigung, wenn der Beweis totaler Mist ist..

LG MS15

Answer 1

Ich glaube, dass deine Argumentation nicht ganz vollständig ist. Du musst ja die Existenz von g

beweisen, also g angeben.

Die Idee, dass g im Wesentlichen die Umkehrung von f ist, die ja auf der Bildmenge f(A) ⊂ B existiert,

ist sicherlich OK. Aber g muss ja auf ganz B definiert sein.

Da ist es vielleicht möglich erstmal ein Element von A ( gibt es, weil A nicht leer.) zu nehmen,

nennen wir es x und zu sagen:

g wird definiert durch   g(b) = a wenn b aus  f(A) \ { f(x) } ist.

                               für alle anderen b aus B wird  g(b) = x definiert.

Wenn man dann die Verkettung betrachtet dann ist  für a ungleich x sicherlich g(f(a))  = a

und g(f(x)) = x denn es gibt ja ein b in B mit f(x)=b und g(b) = x .

Wäre noch zu erwähnen, dass g wohldefiniert ist ( für b ≠ f(x) gibt es ja immer nur

ein a mit f(a)=b  und für alle anderen b ist f(b)=x.

Also ist g selber nicht injektiv, aber gof = id_A 

Comments

Hallo mathef,

vielen Dank für die Antwort. Ich hänge gerade bei:

"g wird definiert durch   g(b) = a wenn b aus  f(A) \ { f(x) } ist. für alle anderen b aus B wird  g(b) = x definiert."

Da f injektiv ist, gilt, dass zu jedem a aus A immer genau ein unterschiedliches b getroffen wird.
Bezeichnen wir nun das eindeutig bestimmte Element mit c.
Damit wäre vorerst g: f(A) -> A, b -> c eine Abbildung (Ist aber noch nicht auf ganz B definiert).
Setzt man diese Abbildung jetzt beliebig oft fort so wird immer wieder ein neues, eindeutig bestimmtes c zugeordnet. g wird also durch g(b) = a definiert.

Jetzt verstehe ich aber nicht, warum wir b ∈ B \ {f(c)} wählen. Immerhin ist c ja das eindeutig bestimmte Element?

Ich habe gerade etwas Schwierigkeiten mein Problem zu konkretisieren, ich hoffe du kannst mir weiterhelfen..

LG

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Verstehe ich richtig, dass wir das bereits eindeutige Element ausschließen mit f(A) \ { f(x) } ist und somit g für alle anderen b definiert ist? Wenn ja habe ich den Knackpunkt gefunden..

Ich hatte den Gedanken, dass {f(x)} alle Elemente für g(b) = a zuordnet.

LG

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Ja genau, ich denke schon, dass man erst eines auswählen muss, auf das dann alle die nicht

in f(A) sind auch durch g abgebildet werden. Denn g muss ja für alle b aus B definiert sein.