Nullstellen berechnen Grad 4: f (x) =-x^4-2x^3-x^2+13x

Question

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe. Ich muss die Nullstellen ausrechnen. Könnt ihr mir da bitte helfen?

f (x) =-x^4-2x^3-x^2+13x

Comments

f (x) =-x⁴-2x³-x²+13x       |(-x) ausklammern.

f (x) =(-x)*(x^3 +2x^2 +x-13)

x1 = 0 

Nun weitere Nullstelle bei 

(x^3 +2x^2 +x-13) suchen.

Teste mal ± 1 und ±13. 

Wenn nichts passt, nimmst du ein Näherungsverfahren deiner Wahl. 

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Kann man das bei x^3+2x^2+x-13 nicht genau ausrechnen?

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Also Schulstoff ( und vermutlich Unistoff) ist das nicht.

Falls es dich aber brennend interessiert: Schaue mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung#Algebraische_Bestimmung

und bei https://www.matheretter.de/rechner/kubische-gleichung/

Du kannst numerisch die Nullstelle auf so viele Stellen genau bestimmen, wie du willst. (Newtonverfahren kommt am Gymnasium relativ häufig zur Sprache)

Answer 1

-x⁴-2x³-x²+13x = 0   erst mal x aus klammern

x * ( -x³-2x²-x+13) = 0

x =0    oder   ( -x³-2x²-x+13) = 0

bei der 2. Gleichung geht es wohl nur näherungsweise etwa x=1,736

Answer 2

Offensichtlich ist \(x_1=0\) eine Lösung. Zu lösen bleibt \(x^3+2x^2+x-13=0\).
(1)  Substituiere \(x=z-\frac23\) und erhalte \(z^3-\frac13z-\frac{353}{27}=0\).
(2)  Substituiere \(z=u+\frac1{9u}\) und erhalte \(u^6-\frac{353}{27}u^3+\frac1{729}=0\).
(3)  Substituiere \(u^3=v\) und erhalte \(v^2-\frac{353}{27}v+\frac1{729}=0\).
(4)  Löse die quadratische Gleichung für \(v\) mithilfe der \(pq\)-Formel.
(5)  Berechne \(u\) aus \(v\) durch Rücksubstitution.
(6)  Berechne \(z\) aus \(u\) durch Rücksubstitution.
(7)  Berechne \(x\) aus \(z\) durch Rücksubstitution,

Lösung sollte sein$$\boxed{x_2=\frac16\left(\sqrt[3]{1412+12\sqrt{13845}}+\sqrt[3]{1412-12\sqrt{13845}}-4\right)}$$

Answer 3

...Ich muss die Nullstellen ausrechnen...

Sollte dazu eventuell auch ein GTR mit oder ohne CAS zur Verfügung stehen, wie es in vielen Lehrplänen inzwischen zwingend vorgeschrieben ist, dann nimm doch den. Alle anderen vorgeschlagenen Verfahren sind hier entweder nicht anwendbar, oder eher aufwändig oder überschreiten die Erfordernisse der Schulmathematik. (Was natürlich nicht heißt, dass sie deswegen weniger interessant wären!)