Hauptachsentransformation und Hauptachse

Question

Habe die EW -2 , 0, 0 raus. Getalt der Matrix nach Hauptachsentransformation wäre doch: q(x)= a₁₁x₁² + a₁₁x₂² + ax₃² + 2*a₁₂x₁x₂ + 2*a₁₃x₁x₁ +2*a₂₃x₂x₂ oder?

Was genaz ist mit Hauptachse gemeint? einfach einsetzten? also: x² +2 x² + x² +4x₁x₂ + 6x₁x₃ + 4x₂x₃

Answer 1

Hi,

Hauptachsentransformation bedeutet du musst die Matrix S diagonalisieren.

Bei den Eigenwerten hast du einen Fehler gemacht, sie lauten λ₁=6,λ₂ =-2,

 λ₃=0.

Weil die Matrix S symmetrisch ist,stimmen die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte mit den algebraischen Vielfachheiten überein. Somit kann man S diagonaliseren. Man muss bloß die Eigenwerte diagonal aufschreiben. Alle anderen Einträge sind 0. D=diag(6,-2,0)

DIe Hauptachse ist  der Eigenvektor zum dazugehörigen Eigenwert.

Zum Eigenwert 6 wäre die Hauptachse (1,1,1).