Lösung LGS Paramter - Wie bestimme ich die Lösbarkeit?

Question

Matrix

1 1 -1  4

t 0 -4 2t +1

2 -1 -t = t


Wie kann ich bestimmen, wann das LGS lösbar, unlösbar und mehrere Lösungen hat?

Danke im Vorrazs

Comments

Bitte schreib das mal lesbar auf. Trenne die Spalten sorgsam mit ; oder |.

Ansonsten kann man die Determinante nehmen um zu schauen obs linear abhängig oder unabhängig ist.

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1;  1;  -1  | 4

t;    0;  -4 | 2t +1

2;  -1;  -t | t

Besser?

Und wie genau mache ich das? Meine Rechnungen verlaufen alle ins Leere, und mein Bruder mit Abitur schafft die Aufgabe auch nicht.

Answer 1

Ich nehme die Determinante der Koeffizientenmatrix und setzte sie gleich null.

det([1, 1, -1; t, 0, -4; 2, -1, -t]) = 0

0 - 8 + t - 0 - 4 + t^2 = 0
t^2 + t - 12 = 0
t = -4 ∨ t = 3

Für t = -4 oder t = 3 gibt es also entweder unendlich viele Lösungen oder keine. Für andere Werte von t gibt es genau eine Lösung.

Wir setzen also mal -4 und 3 ein und prüfen

[1, 1, -1, 4]
[-4, 0, -4, -7] 4*I + II
[2, -1, 4, -4] 2*I - III

[0, 4, -8, 9]
[0, 3, -6, 12] 3*I - 4*II

[0, 0, 0, -21]
Für t = -4 gibt es also keine Lösung

[1, 1, -1, 4]
[3, 0, -4, 7] 3*I - II
[2, -1, -3, 3] 2*I - III

[0, 3, 1, 5]
[0, 3, 1, 5]

Für t = 3 gibt es also unendlich viele Lösungen