Beispiel Exponentialfunktion Lichtintensität

Question

In klarem Wasser nimmt die Intensität des Lichts um ca. 11% pro Meter ab.

1) Auf wie viel Prozent des Ausgangswerts ist die Lichtintensität in 10 m Tiefe gesunken?

2) Gib die Funktion an, die die Lichtintensität, abhängig von der Tiefe ( in Meter ), beschreibt und stelle sie grafisch dar.

3) Nach wie viel Meter ist die Lichtintensität um ein Viertel der ursprünglichen gefallen?

Answer 1

1)
N(10) = (1-0,11)= 0,89^10 =

2)

N(t) = N(0)*0,89^t

3)

0,75 = 0,89^t

t= ln0,75/ln0,89 =

Answer 2

In klarem Wasser nimmt die Intensität des Lichts um ca. 11% pro Meter ab.

1) Auf wie viel Prozent des Ausgangswerts ist die Lichtintensität in 10 m Tiefe gesunken?

(1 - 0.11)^10 = 0.3118 = 31.18%

2) Gib die Funktion an, die die Lichtintensität, abhängig von der Tiefe ( in Meter ), beschreibt und stelle sie grafisch dar.

I(x) = (1 - 0.11)^x = 0.89^x

~plot~0.89^x ; [[0|20|0|1]]~plot~

3) Nach wie viel Meter ist die Lichtintensität um ein Viertel der ursprünglichen gefallen?

(1 - 0.11)^10 = (1 - 0.25) --> x = 2.469 m

Answer 3

Sei A die Lichintensität an der Oberfläche und L(n) die Lichtintensität in n m Tiefe. Dann gilt L(0)=A; L(1)= 0.89A; L(2) = 0.81·0,81A; L(n)=0.81ⁿA. Graphisch darstellen kann man das nur, wenn man für A einen Wert vorgibt. Dann schafft das der GTR.  Nach Fallen um 1/4 A sind noch 3/4A vorhanden. Für welche Anzahl n von Metern gilt: 0,81ⁿ·A=3/4· A. Dividieren durch A und Logarithmieren führt zu n = (ln3/4)/ln0.81 ≈ 2,5. In 2,5 m Wassertiefe ist die Lichtintensität um 1/4 gefallen.