Unklarheit bei bereits gelöstem Gleichungssystem

Question

aktuell muss ich eine Aufgabe machen, die so hier bereits gelöst wurde:

https://www.mathelounge.de/126210/kann-mir-jemand-helfen-folgende-aufgaben-zu-losen#a126236

Punkt 5.

Ich selber habe diese Aufgabe vorher auseinander genommen, scheitere allerdings auch bei der gelösten Aufgabe, an dem selben Punkt, wie schon privat:

Aus den Angeben ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

f ( 7 ) = 19 + T₀ * b ⁷ = 12
f ( 20 ) = 19 + T₀ * b ²⁰ = 17

<=>

T₀ * b ⁷ = - 7
T₀ * b ²⁰ = - 2

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
- 7 / b ⁷ * b ²⁰  = - 2

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
b ¹³  =  2 / 7

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
b =  ( 2 / 7 ) ^{1 / 13}  ≈ 0,908131

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
b  ≈ 0,908131

<=>

T₀ = - 7 / 0,908131 ⁷
b  ≈ 0,908131

<=>

T₀ ≈ -13,742272
b  ≈ 0,908131

Somit lautet die Funktion f :

f ( t ) = 19 - 13,742272 * 0,908131 ^t

Die drei fett-makierten Schritte, kann ich absolut nicht nachvollziehen. Da bei der Lösung keine Umformungen mitgeschrieben wurden, konnte ich das Problem, was ich bereits privat hatte (Ab besagtem Schritt kam ich nicht weiter) nicht lösen. Zwar könnte ich alles abschreiben, aber das bringt mir reichlich wenig, wenn ich es nicht auch verstehe. Ich hoffe, dass mir jemand die Aufgabe ausführlich mit den jeweiligen Schritten versehen kann, denn ich komme z.B immer zu dem Ergebnis, dass hier:

T₀ = - 7 / b ⁷
b ¹³  =  2 / 7

2/7 gar nicht möglich ist, da nicht beide Zahlen positiv sein können.

Danke schon einmal im Voraus.

Answer 1

T₀ * b ⁷ = - 7
T₀ * b ²⁰ = - 2     Soweit ist es also klar !

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷     hier ist die erste Gleichung nach To aufgelöst
( - 7 / b ⁷ )* b ²⁰  = - 2    und in die 2. eingesetzt. Beser mit Klammer um den Bruch

<=>  jetzt hast du links einen Bruch mit b^7 im Nenner und Faktor b^20 dahinter,

da kannst du mit b^7 kürzen und hast

-7 * b^13  = -2     |  : -7

        b^13 = 2/7    und nun die 13. Wurzel bzw  (2/7) ^1/13 = 0,9081...

Hat's geholfen ???

Comments

Geholfen hat mir das auf jeden Fall schon einmal, danke.

Aber trotzdem zum Verständnis:

 Dass ich mit b⁷ kürzen kann, war mir zwar irgendwo klar, allerdings würde mich interessieren, wie ich das z.B in einer Klausur als tatsächlichen Rechenschritt aufschreiben kann. D.h der  rechnerische Bezug ist mir nicht direkt genug - Ich hoffe, du weißt, was ich meine :-/?

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Du kann es ja auch ausführlicher schreiben, etwa sob^20 / b^7

( - 7 / b ⁷ )* b ²⁰  = - 2

-7b^20 / b^7 = -2

b^20 / b^7 = -2/ -7 

b^20 / b^7 = 2/7   und Potenzgesetz  b^20 / b^7 = b ^20-7 = b ¹³