Grenzwert berechnen. lim_(x->1) (1-x)/(1-√x)

Question

Grenzwert von Folge berechnen

seit kurzem haben wir das Thema Folgen und bislang steig ich dort einfach nicht durch.

Die Aufgabe lautet:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1-x }{ 1-\sqrt { x }  }  } \quad \quad \Rightarrow \quad \frac { 1-x }{ 1-\sqrt { x }  } \cdot \frac { 1+\sqrt { x }  }{ 1+\sqrt { x }  } \quad \Rightarrow \quad \frac { 1+\sqrt { x } -x-x\cdot \sqrt { x }  }{ 1-x } \quad $$

So weit wie es oben steht bin ich nun gekommen, doch wenn ich jetzt nach der "Universalanleitung" gehe die ich bekommen habe, dann sollte ich jetzt x ausklammern. Wenn ich dies mache und dann 1 einsetze kommt dann immernoch 0 heraus. Obwohl das Ergebnis 2 sein sollte.

Ich würde mich über nützliche Links, Tipps und Lösungswege freuen.

Comments

Hospital geht nicht oder darfst du nicht benutzen?

EDIT: Den richtigen 3. Binom habe ich auch nicht gleich gesehen. vgl. Antwort von Wolfgang.

Es handelt sich übrigens um einen Grenzwert bei einer Funktion (nicht Folge).

---

Leider soll diese Aufgabe ohne gemacht werden. Sehe ich es richtig, dass es für die Vorgehensweise keinen festen Lösungsweg gibt, sodass man die Vorgehensweise "sehen" muss?

Answer 1

lim_x→1  \(\frac{1-x}{1-√x}\)  =  lim_x→1  \(\frac{1-(√x)^2}{1-√x}\) 

= lim_x→1  \(\frac{(1-√x)·(1+√x)}{1-√x}\)  (3. binomische Formel)

= lim_x→1 (1 + √x) = 2

Gruß Wolfgang

Answer 2

Sehe ich es richtig, dass es für die Vorgehensweise keinen festen Lösungsweg gibt, sodass man die Vorgehensweise "sehen" muss?

Ja. Damit man das zu sehen lernt, übt man.

Schau mal deinen mittleren Term an.

Wenn du dort erst mal nur den Nenner zusammenfasst und oben die Faktorisierung stehen lässt, kannst du mit (1-x) kürzen.

Läuft dann auch auf die Rechnung von Wolfgang raus.