Subtraktion und Addition von Brüchen: 1/u + (u^2 + 1)/(u^2 - u) - (u-1)/(u^2 + u) - 4/(u^2 -1)

Question

Subtraktion und Addition von Brüchen:

$$ \frac{1}{u}+\frac{u^{2}+1}{u^{2}-u}-\frac{u-1}{u^{2}+u}-\frac{4}{u^{2}-1} $$

Ich weiss einfach nicht, wie ich auf den gleichen Nenner kommen soll.

Comments

Dazu musst du erst mal die Nenner faktorisieren. Zwei mal kannst du u ausklammern. Zum Schluss nimmst du die 3. binomische Formel.

Answer 1

1 / u + (u^2 + 1) / (u^2 - u) - (u - 1) / (u^2 + u) - 4 / (u^2 - 1)

Ich faktorisiere die Nenner

1 / u + (u^2 + 1) / (u(u - 1)) - (u - 1) / (u(u + 1)) - 4 / ((u + 1)(u - 1))

Hauptnenner ist u(u+1)(u -1). Auf diesen wird jetzt erweitert

(u + 1)(u - 1) / (u(u + 1)(u - 1)) + (u^2 + 1)(u + 1) / (u(u + 1)(u - 1)) - (u - 1)^2 / (u(u + 1)(u - 1)) - 4u / (u(u + 1)(u - 1))

Auf einen Bruchstrich schreiben. Dabei die Zähler schon ausmultiplizieren.

((u^2 - 1) + (u^3 + u^2 + u + 1) - (u^2 - 2u + 1) - (4u)) / (u(u + 1)(u - 1))

Jetzt zusammenfassen

(u^3 + u^2 - u - 1) / (u(u + 1)(u - 1))

Nullstellen des Zählers bestimmen und damit Faktorisieren

(u - 1)·(u + 1)^2 / (u(u + 1)(u - 1))

Kürzen

(u + 1) / u

Eventuell als Summe schreiben

1 + 1 / u

Answer 2

Bei den Nenner das u ausklammern und dann ist der Hauptnenner u(u²-1)

$$ \frac{\left(u^{2}-1\right)+\left(u^{2}-1\right) · (u+1)-(u-1) · (u-1)-4 u}{u · \left(u^{2}-1\right)} \\ = \frac{u^{2}-1+u^{3}+u^{2}+u+1-u^{2}+2 u-1-4 u}{u\left(u^{2}-1\right)} \quad \text{ zusammenfassen }  \\ = \frac{u^{3}+u^{2}-u-1}{u\left(u^{2}-1\right)}=\frac{(u-1)(u+1)^{2}}{u(u-1)(u+1)} \quad \mid \text{ kürzen } \\ = \frac{\boldsymbol{u}+\mathbf{1}}{\boldsymbol{u}} $$