Divergenz und Rotation in Vektorfeldern

Question

Ich habe folgende Aufgabe zur Divergenz und Rotation:

Berechnen Sie die Divergenz und Rotation folgender Vektorfelder.

F(x+y,-x+y,-2z)

G(2y,2x+3z,3y)

H(x²-z²,2,2xz)

Ich würde Vermuten das die Divergenz im 1. Feld F 0 ist, habe aber keine Lösung um das zu überprüfen. Wäre nett wenn mir wer F,G oder H vorrechnet damit ich weiß wies geht.

Danke

Answer 1

Hi,

das ist nur ableiten und zusammenrechnen. Das bekommst Du selbst hin. Falls Du die Formel im Skript verschleppt hast, hier nochmal

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes#Definition_der_Rotation_in_kartesischen_Koordinaten

und hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Eigenschaften

bzw, hier nochmals "einfacher" aufgeschrieben:

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_vektoranalysis_ss_10/12_divergenz_rotation.pdf

Zur Kontrolle für F: Divergenz dürfte 0 sein, während die Rotation (0,0,-2) ist.

Grüße

Answer 2

 

die Hinweise für die Berechnung hast du ja schon von Unknown.

Hier die Kontrollergebnisse für G und H:

div(G) = 0

rot(G) = [0, 0, 0]

div(H) = 4·x

rot(H) = [0, - 4·z, 0]

Gruß Wolfgang

Comments

Ok danke an beide, das ist ja dann nicht so schwer. Ich soll jetzt noch für ein wirbelfreies Feld, also wenn die Rotation verschwindet das Skalare Potential Φ bestimmen.

Das trifft ja nur für G zu also

G=∇Φ

Wenn ich jetzt G integriere also jeweils die Komponenten nach dx,dy und dz dann bekomme ich Φ=(2xy,2xy+3yz,3yz). Das ist jedoch wieder ein Vektor und kein Skalar. Stimmt das jetzt so wie ich das gerechnet habe?

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Es gilt mit G=∇Φ: dΦ/dx=G_x ;dΦ/dy=G_y ; dΦ/dz=G_z

Damit kannst du Φ durch unbestimmte Integration bestimmen. Beachte, dass die Integrationskonstante von den konstanten Variablen abhängen kann, also wenn du nach x integrierst bleibt ein Rest R(y,z). Den kannst du dann mit  G_{y  und} G_z  bestimmen.