Integration mit Substitution. ∫ (2x+3) /(x+2)^2 dx ; t= x+2.

Question

Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution.

∫ (2x+3) /(x+2)^2 dx ; t= x+2

(grenzen unten :1 oben:2)

Mein Ansatz :

∫ (2x+3) / t dt 

= ∫  (2x+3) *t^-1

Hier partielle Integration

---> t^-1 = u'(x)

----->  (2x+3) = v(x) 

Benötige ganz Hilfe weiß nicht mehr weiter :(

!

Comments

du musst x durch u ausdrücken

substituiere u = x+2

du/dx = 1

dx = du

x = u -2

dann hast du das integral (u+1)/u^2 du was leicht zu lösen ist

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wie kommst du im zähler auf u+3 ^^??

oh ich nehme alles zurück

müsste da nicht 2 u rauskommen im zähler ??

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jo habs schnell im kopf gemacht kann was falsch sein. versuchs mal allein jetzt müsstest du das schaffen

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muss ich da mit der partiellen Integration weitermachen ??

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nein. schau mal die anderen antworten. mit partialbruchzerlegung geht es meiner meinung nach einfacher

Answer 1

Man konnte ansonsten eventuell auch erstmal eine Partialbruchzerlegung machen.

f(x) = (2·x + 3)/(x + 2)^2 = 2/(x + 2) - 1/(x + 2)^2

Dazu ist die Stammfunktion nicht mehr so schwer

F(x) = 2·LN(x + 2) + 1/(x + 2) + C

Answer 2

$$ \int_{}^{} \frac { 2x+3 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2(x+2) - 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2(x+2) }{ (x+2)^2 } dx - \frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2 }{ x+2 } dx- \frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= \int_{}^{} \frac { 2 }{ x+2 } dx- \int_{}^{}\frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx \\= 2\cdot\int_{}^{} \frac { 1 }{ x+2 }dx - \int_{}^{}\frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx $$

Jetzt kannst du integrieren:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ x+2 } dx $$

Substituiere t = x+2, dt/dx = 1:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ t } dt \\= ln(t)$$

Rücksubstitution von t = x+2: ln(t+2)

Dasselbe nun mit:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ (x+2)^2 } dx $$

Substituiere t = x+2, dt/dx = 1:

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ t^2 } dt \\= -\frac { 1 }{ u }$$

Rücksubstitution von t = x+2: -1/(x+2)

=> F(x) = $$ 2 \cdot ln(|x+2|) + \frac { 1 }{ x+2 } + C $$

Auf das Vorzeichen achten! (+1/(x+2))

Jetzt kannst du die Grenzen einsetzen.

Answer 3

Hilfe bei Integration mit Substitution bei e-Funktion