Wie bestimmt man den Kern eines Basisvektors?

Question

Ist K_B eines Basiselements (b₁,b₂...) immer der einheitsvektor (e₁,e₂..)?
Wenn ja, warum und woher weiß ich welche Dim der Vektor hat?
Wenn nein, wie bestimmt man K_B?

Comments

Was verstehst du unter "Kern eines Basisvektors" ?

Ich kann nichts solches in der Aufgabenstellung erkennen.

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Ich denke unter K_B 

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Oder anders gefragt: wie kommt man auf "2K_B(X²+1)=2e₁" ?

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K_B hat mit dem kern nicht zu tun. Das ist die Koeffizientenmatrix unter der Basis B

Answer 1

Der Kern einer linearen Abb. ist die Menge aller Vektoren, deren

Bild der 0-Vektor ist.

Um zu zeigen, dass v im Kern von L liegt, musst du also

nur zeigen, dass  L(v)=0-Vektor ist.

Comments

wie kommt man auf "2K_B(X²+1)=2e₁" ?

Ich fang mal etwas früher an:  Wenn du K_B bestimmen willst,

also die Matrix von L bezüglich der Basis B, dann musst du

von jedem Basisvektor das Bild bestimmen.

Der erste Basisvektor ist x^2 + 1 , dessen ist also L(x^2+1)

und das ganze K_B davor kannst du der Übersichtlichkeit halber mal erst

weglassen.  Und L(x^2+1) ist gegeben nämlich = 2x+1 .

Und dieses Ergebnsi musst du nun durch die Vektoren von B als

Linearkombination darstellen. Weil B eine Basis ist, geht das auf jeden Fall

und in der Lösung wird benutzt

2x+2  = 2*(x^2 + 1 ) - 2*(x^2 - x )        #

[[wenn man das nicht so einfach raten kann, hilt der Ansatz

2x+2 = a*(x^2 + 1 ) +b*(x^2 - x )+c*(x^2 + 2) 

und dann a,b,c ausrechnen über Koeffizientenvergleich in diesem

Fall gäbe das eben a=2 und b=-2   . Also gilt hier

2x+2  =   2*(x^2 + 1 ) - 2*(x^2 - x )  + 0*(x^2 + 2)

Und das ist die Darstellung von L vom ersten Basisvektor

durch die Basisvektoren.  (Die nennen sie in der Lösung halt

e1 und e2.  Wichtig ist nur: Die Koeffizienten (rot) bilden die

erste Spalte der gesuchten Matrix.  Die sieht also so aus:

2         ?          ?
-2        ?         ?
0         ?          ?
Die anderen ? bekommst du, wenn du das ganze Spielchen statt mit
dem ersten Basisvektor zu beginnen mit dem 2. machst.
Dann hast du die 2. Spalte der Matrix und dann noch mit dem 3.
und fertig ist die Kiste.