schreib dir mal die Matrix hin und bringe sie durch Zeilenumformungen
auf Stufenform. Ich bekomme da
2 0 -2 -1 1
0 4 4 7 3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
daran sihst du schon mal rang=3
weil es 5 Zeilen gibt und zwei davon nur 0en enthalten.
Der Kern entspricht der Lösungsmenge des
homogenen Gl.systems, Hier sihst du
x5 Ist frei wählbar etwa x5=t und
dann die 3. Gleichung x4 = - t
dann wieder x3 frei zu wählen etwa x3=s dann
mit der 2.
4x2 + 4s -7t + 3t = 0
gibt 4x2 = 4t - 4s
x2 = t - s
und dann mit der 1.
2x1 -2s + t - t = 0
x1 = s
also lösungsvektor
( s , t-s , s ; -t ; t )
= s* ( 1 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 ) + t * ( 0 ; 1 ; 0 ; -1 ; 1 )
Damit ist {( 1 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ; 0 ; -1 ; 1 )}
(besser als Spaltenvektor geschrieben) eine Basis des
Kerns.
und die Lösungsmenge von A*x=b
ist dann die spezielle Lösung ( siehe Kommentar) + die Elemente des Kerns
also
L = (0; 1; 0; 0; 0) +s* ( 1 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 ) + t * ( 0 ; 1 ; 0 ; -1 ; 1 )
Und das Bild von A ist der von den Spalten aufgespannte
Vektorraum. Für eine Basis brauchst du also drei linear unabh. Spalten.
An der Stufenform erkennst du, dass du die
1. und die 2. und die 4. Spalte nimmst.