Wie bestimmt man eine Basis vom Kern und vom Bild einer Matrix?

Question

Gegeben seien

A = 1.Zeile: (−1, −1, 0, −3, −3)

2.Zeile : (2, 0, −2, −1, 1)

3. Zeile:  (1, 2, 1, 3, 2)

4. Zeile:  (−1, 2, 3, 2,−1)

5. Zeile:  (0, 1, 1, 3, 2)

und b = (−1, 0, 2, 2, 1)

Was ist jetzt eine Basis vom Kern und Bild von A und der Rang von A  b.z.w wie kann man das berechnen? 

Außerdem könne man hier ohne weitere Rechnung die Lösungsmenge des LGS Ax=b bestimmen, warum ist das so? Hat es was damit zu tun, dass die zweite Spalte von A identisch mit b ist?

Comments

Hat es was damit zu tun, dass die zweite Spalte von A identisch mit b ist?

JA

x = [0; 1; 0; 0; 0]

Answer 1

schreib dir mal die Matrix hin und bringe sie durch Zeilenumformungen

auf Stufenform. Ich bekomme da

2   0   -2     -1     1
0   4    4      7     3
0    0   0     1      1
0    0   0     0      0
0    0   0     0      0 

daran sihst du schon mal rang=3 

weil es 5 Zeilen gibt und zwei davon nur 0en enthalten.

Der Kern entspricht  der Lösungsmenge des

homogenen Gl.systems, Hier sihst du

x5 Ist frei wählbar  etwa   x5=t  und

dann die 3. Gleichung   x4 = - t

dann wieder x3 frei zu wählen etwa x3=s  dann

mit der 2. 

4x2 + 4s  -7t + 3t = 0

gibt  4x2 =  4t - 4s

x2 = t - s

und dann mit der 1.
2x1 -2s + t - t = 0

x1 = s

also lösungsvektor

(  s   ,   t-s   ,   s   ;    -t    ;  t )

= s* ( 1 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 )  + t * ( 0 ; 1 ; 0  ; -1  ; 1 )

Damit ist {( 1 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 )  , ( 0 ; 1 ; 0  ; -1  ; 1 )}

(besser als Spaltenvektor geschrieben) eine Basis des

Kerns.

und die Lösungsmenge von A*x=b

ist dann die spezielle Lösung ( siehe Kommentar) + die Elemente des Kerns

also

L = (0; 1; 0; 0; 0) +s* ( 1 ; -1 ; 1 ; 0 ; 0 )  + t * ( 0 ; 1 ; 0  ; -1  ; 1 )

Und das Bild von A ist der von den Spalten aufgespannte

Vektorraum. Für eine Basis brauchst du also drei linear unabh. Spalten.

An der Stufenform erkennst du, dass du die

1. und die 2. und die 4. Spalte nimmst.