Für welche Werte von a gibt es lokale Extrema?

Question

Sei c eine fixe Konstante. Für welche Werte von a besitzt die folgende Funktion f lokale Extrema? 

f(x)=x^2 +2ax+c 

Answer 1

 f(x)=x^2 +2ax+c 

ist immer die Gleichung einer Parabel. Sie hat im Scheitelpunkt immer ein lokales (und gleichzeitig globales) Extremum.

Comments

also dass es die Form einer Parabel hat und somit ein lokales Extremum besitzt, weiß ich, aber wie kann die genauen Werte für a herausfinden?

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Es gibt für jedes a∈ R ein lokales Extremum.

Daher, wenn du nun a gesucht hast, ist die Lösungsmenge  L = ℝ

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f ' (x) = 2x + 2a; neue Zeilef ' (x) = 0  neue Zeil==> x = -a  neue Zeile 

f ''(x) = 2 > 0.    neue Zeile 

==> Für alle a∈R gibt es ein lokales (und globales) Minimum. Neue Zeile

Ein globales Max. gibt es nicht.

Answer 2

f(x)=x^2 +2ax+c

Solltest du außerdem noch an den Koordinaten für den Extrempunkt
interessiert sein. Hier der Rechenweg mit Diff.Rechnung

f ( x ) = x^2 + 2 ax + c
f ´( x ) = 2 * x + 2 * a
f ´´ ( x ) = 2

Extrempunkt
2 * x + 2 * a = 0
x = - a

f ( -a ) = (-a)^2 + 2 * a * (-a) + c
f ( -a ) = a^2 - 2 * a^2 + c
f ( -a ) = - a^2 + c

Extrempunkt ( -a | - a^2 + c )
Die 2.Ableitung ist positiv  => Linkskrümmung / Minimum

Eine Herleitung mit der Scheitelpunktform ist auch möglich.

Hier noch ein Graph für a = 2 und c = 4

~plot~ x^2 + 2 * 2 * x + 4 ~plot~

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