Grenzwert von Folge berechnen mit x--> 0

Question

Folgender Grenzwert soll berechnet werden:

lim_x-->0(329cosh(2x)-ln(1-4x)3x+42exp(x²)-160cos(x)-ln(1-17x)2x)/x²

Ich weiss dass der Bruch umgeformt werden muss so das der Nenner nicht 0 ergibt wenn man 0 für x einsetzt. Normalerweise bin ich Aufgabenstellungen gewöhnt in denen man den Term im Zähler zB. in eine "halbe bin. Formel" umformt und den fehlenden Faktor im Zähler/Nenner dazumultipliziert, dann auflösen und schon hat man x nicht mehr alleine stehen. Hier jedoch bin ich ratlos.

Comments

Hast du noch eine zweifelsfreie Darstellung von deinem Bruchterm?

cosh ist eine hyperbolische Funktion.

trigonometrisch ist hier höchstens cos.

Ausserdem hast du es hier mit dem Grenzwert einer Funktion (nicht Folge) zu tun.

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Ich hab mich anscheinend vertippt, im Zähler sollte es ln(1+4x) sein, aber es würd mich wundern
wenn das allzu ausshlageben ist.

Hab mir einen der vorgeschlagenen Tags genommen, brauchte min. 2.
Bin dennoch für jede Belehrung dankbar, deshlab bin ich ja hier.

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nutze die taylorentwicklung an der stelle 0 um die Aufgabe vieeeeeeeeeeeeel einfacher zu machen

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Danke für den Tipp. Werd ich gleich mal ausprobieren.

Answer 1

Hi,

f(x) ist der Bruch den du gegeben hast.

$$ \lim_{x\to 0}f(x) ≈ \lim_{x\to0}\frac { 329(1+2x^2)-3(4x^2)+42(1+x^2)-160(1-x^2/2)-2(17x-289x^2/2) }{ x^2 }=\lim_{x\to0}\frac { 1057x^2-34x+211 }{ x^2 }=\infty$$ Der Bruch divergiert.

Answer 2

   Trennen wir doch erst mal die beiden logaritmischen Glieder ab.




            ( 1/x )  [  3  ln  (  1  -  4  x  )  ]       (  1a  )



       ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion




        f  (  x  )  :=  3  ln  (  1  -  4  x  )     (  1b  )




    genommen zwischen x0 = 0 und der beliebigen Stelle x . Schlicht und ergreifend, weil f ( 0 ) = 0 Und der Grenzwert dieses DQ ist doch die Ableitung f ' ( 0 )




        f  '  (  x  )  =  12  /  (  4  x  -  1  )  ===>  (  -  12  )    (  1c  )



      Entsprechend zeigst du, dass der andere logaritmische Term




       ( 1/x )  [  2  ln  (  1  -  17  x  )  ]  ===>  (  -  34  )     (  2  )



    Aber fasse mal den restlichen Zähler zusammen:




     329 cosh  (  2  x  )  +  42  exp  (  x  ²  )  -  160  cos  (  x  )  ===>  329  +  42  -  160  =    (  3a  )

       =  211     (  3b  )


    Du das gibt eine Polstelle 2. Ordnung .