Verständnisproblem mit Formel für Seitenlänge eines Vielecks

Question

In meiner Aufgabe steht:

Gehen wir zum Beispiel von einem dem Einheitskreis eingeschriebenen Sechseck aus (mit also n = 6 auf dem Kreis liegenden Ecken). Dieses Sechseck setzt sich zusammen aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge s6 = 1. Summiert man die Länge der Seiten, die den Kreis berühren, erhält man 6·1 ≈ 2π = 6.28.... Je grösser die Anzahl der Ecken eines solchen 'Vielecks', umso genauer muss sich die Summe der Seitenlängen 2π annähern. Es lässt sich zeigen, dass für die Seitenlänge eines Vielecks mit 2n Ecken gilt: 

$$ S_{2N} = \sqrt {2-2\sqrt{1-\frac {s^2_n}{4}}  }$$

Ich verstehe diese Formel nicht. Ist jetzt S2n die Länge einer Seite eines Vielecks, beispielsweise eines Sechsecks? Was ist dann aber das s² unter der Wurzel?

Answer 1

s_n ist die Seitenlänge eines Vielecks mit n Ecken und s_2n ist die Seitenlänge eines Vielecks mit 2n Ecken.

Comments

Hallo. Das verstehe ich irgendwie nicht. Angenommen, ich habe ein Sechseck, dass ich einem Einheitskreis einschreiben will, um 2 pi anzunähern. Wie benutze ich nun diese Formel?

Answer 2

Fangen wir mal von einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkellängen 1 an.

Wie lang ist die Grundseite bei 90° (Quadrat)

Wie lang ist die Grundseite bei 60° (Sechseck)

Wie lang ist die Grundseite bei 360°/n  (n-Eck )

Comments

Die Grundseite bei 60° ist 1, das Dreieck muss gleichseitig sein.

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Bei 60° liegt ein Sonderfall vor - der allerdings für die weitere Betrachtung völlig belanglos ist.

Wie lang ist die Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks bei gegebenem Winkel 360°/n und Schenkellänge =1

ist die Frage, die durch eine "Formel" allgemein darzustellen ist.