Berechne die Nullstellen von der Funktion f(x)= -x^2 + e^{x/2}

Question

Wie berechne ich die Nullstellen von f(x)= -x^2 + e^{x/2}?    Bzw. Wie sieht der Rechenweg aus?

EDIT: Exponent korrigiert gemäss Kommentar. 

Comments

ist es e^x/2 oder e^{x/2}?

---

Wenn du die Funktion richtig eingegeben hast, kommst du nicht ohne ein numerisches Verfahren aus.

Bsp. für ein solches ist das Newtonverfahren: 

Erklärung hier: https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren 

Startwerte entnimmst du z.B. einem Graphen. 

 ~plot~ -x^2 + e^{x/2}~plot~ 

Klammern berichtigen hiermit https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E2+%2B+e%5E(x%2F2)

---

Das ist eigentlich keine Antwort sondern ein Kommentar. 

---

EDIT(Lu). Habe döschwos Antwort zu den Kommentaren verschoben. 

---

Hallo kofi,

Das ist eigentlich keine Antwort sondern ein Kommentar.

Du meinst sicher umgekehrt

Das ist eigentlich kein Kommentar sondern eine  Antwort

mfg Georg

---

Soll ich weiter rumschieben oder warten wir mal die Reaktion des Fragestellers ab? 

---

Ich glaube hier ist einiges an Verwirrung vorhanden bezüglich
Kommentar, Antwort, Verschiebungen, zeitlicher Ablauf, auf
welche Kommentare sich Kommentare beziehen.
Ich nehme meinen Kommentar daher komplett zurück.

---

es ist e^x/2
Ich habe Probleme mit der Nullstellenbestimmung wegen dem "e".
Ich hoffe man kann mir helfen

---

EDIT. Ok. Ich habe jetzt überall die Klammern um den Exponenten ergänzt. 

Mein Kommentar gilt weiterhin. Die vorhandenen Antworten auch. 

Kontrolliere nochmals die Funktionsgleichung. Wenn jetzt alles stimmt: 

Lies mal den Artikel, den ich dir verlinkt habe. 

Answer 1

f(x)= -x² + e^{x/2} 

kann mit z.B. dem Newton-Verfahren berechnet werden.
Ansonsten gibt es keine algebraische Lösungsmöglichkeit.

~plot~ -x^{2}+e^{x/2} ; [[ -5 | 10 | -17 | 10 ]] ~plot~

Answer 2

Hallo

Die Nullstellen kannst Du nur über ein Näherungsvefahren(z.B. Newton) berechnen.
Habt Ihr sowas überhaupt behandelt? Oder lautet die Aufgabe anders?

Answer 3

x^2=e^{x/2} |/e^{x/2}

e^{-1/2*x}*x²=1 -> das ist genau

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

 §6 mit a=-1/2, p=0, h=2, b=1

x[n]=2/(-1/2) * LambertW(n, -1/2/2 * (-1)^{2*N/2} * (1/e^0)^{1/2}) mit N=1 und 2

x[n]=-4*LambertW(n,+/-1/4) mit n=-2...1

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

Minus-Fall (N=1):

n  | x[n]                                       

-2 | 13.9589291369183684030025085076883+29.656218120384146578967422861857 i

-1 | 8.61316945644139859667639660037192...

 0 | 1.42961182472555561227524441622361...

 1 | 13.9589291369183684030025085076883-29.656218120384146578967422861857 i

 Plus-Fall (N=2):

 n | x[n]                              

-2 | 15.2491776455689590009792497941881+42.607520550645771487229083295690 i

-1 | 12.0359920398801847972147477348338+16.306119155966390515229053458723 i

 0 | -0.8155534188089606577727273253085...

 1 | 12.0359920398801847972147477348338-16.306119155966390515229053458723.i

Wie bei allen LambertW-Lösungen sollte man immer Probe machen:

Ja, bei e^{x/2}-x^2 kommt bei allen 8 x-Werten das Ergebnis 0 heraus.

3 von 8 sind reeller Natur, was die Grafik bestätigt: