Welche Formel muss ich nehmen? Ableitung Tangente und Sekante

Question

Also nochmal zum Verständnis

die Ableitung der Sekante ist in einem gegebenem Intervall und

kann mit der Formel (f(b)-f(a))/(b-a) berechnet werden

 gibt es noch andere Formeln dafür?

Und die Ableitung der Sekante ist ja in einem bestimmten Punkt gefragt..

nur das Problem ist

mal schreiben die (f(x+h)^2-f(x))/h

oder ( f(x+h)-f(x)) /h

welche Formel ist richtig??

Comments

es gilt Punkt- vor Strichrechnung. Daher fehlen noch Klammern. Du meinst z.B.

 Formel (f(b)-f(a))/(b-a)

EDIT: Habe die Klammern oben ergänzt. 

Answer 1

(f(x+h)-f(x)) /h   ist die richtige Formel für den

Differenzenquotient.

Comments

Der Differenzenquotient ist doch die Ableitung einer Sekante oder? Und kann man d nicht f(b)-f(a)/b-a nehmen?

Answer 2

Die Steigung einer Sekante durch die Punkte A(a | f(a)) und B(b | f(b)) kann man schreiben als

m = (f(b) - f(a)) / (b - a)

nun kann man auch für a und b folgende Dinge einsetzen

a = x

b = x + h

dann wird daraus

m = (f(x + h) - f(x)) / ((x + h) - (x)) = (f(x + h) - f(x)) / h

Beide Formeln sollte man verstehen und im Hinterkopf behalten.

Das irgendwo ein f(x + h)^2 steht ist so nicht richtig. Wenn dann wird die Funktion f durch ihren Funktionsterm ersetzt

f(x) = x^2

f(x + h) = (x + h)^2

Comments

Dankeschön , bin aber jetzt verwirrt also dh. Ja dass f(b)-f(a)/b-a und f(x+h)-f(x)/h das gleiche sind und wie würde ich jetzt die Tangentensteigung mit der h Methode berechnen??

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m = (f(b) - f(a)) / (b - a)

und

m = (f(x + h) - f(x)) / h 

sind theoretisch das gleiche. Nur eine leicht andere Form. Bei beiden Dingen handelt es sich um den Differenzenquootienten.

Für die Tangentensteigung mit der h-Methode benutzt du den zweiten Ansatz. Leicht zu merken durch das h, welches im ersten Term ja nicht vorkommt :)

Wie das genau geht habe ich heute ja schon an einer Funktion vorgemacht.

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Cool Super also muss ich mir nur merken für die Ableitung der Sekante gelten die Formeln :    f(b)-f(a)/b-a und f(x+h)-f(x)/h   (je nachdem welche mir lieber ist) und dann für die Ableitung der Tangente gilt f(x+h)-f(x)/h  und hat man zb jetzt bei der Tangente gegeben f(x)=3x^2  setzt man ein lim -> 0 3(x+h)^2-3(x)^2     und so weiter richtig? :D

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f(x) = 3x^2

m = (f(x + h) - f(x)) / h

Jetzt ersetzt du nur in der Formel das f(x + h) und das f(x). Denk Dabei an die richtige Klammerung.

m = ((3(x + h)^2) - (3x^2)) / h

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Super Danke sehr also ist es richtig bis auf die Klammern :-)

Answer 3

Das sind beides Formeln für Sekantensteigungen. 

Es gilt immer:

Formel (f(b)-f(a))/(b-a)  

Wenn a = x und b = x+h folgt daraus immer

Formel (f(x+h)-f(x))/(x+h -x) =  (f(x+h)-f(x))/ h

Wenn man bei der 2. Formel den Grenzwert für h gegen 0 ausrechnet, bekommt man die Tangentensteigung an der Stelle x. 

Nun kommt es einfach auf die Funktionsgleichung an. 

Wenn z.B. f(x) = sin(x), dann ist 

(f(b)-f(a))/(b-a)  = (sin(b) - sin(a)) / ( b-a) 

und

 (f(x+h)-f(x))/ h = (sin(x+h) - sin(x) ) / h               , was du jetzt vermutlich noch nicht weiter vereinfachen kannst. 

Comments

Hm okay also ist ja im prinzip  f(x+h)-f(x)/h das gleiche wie f(b)-f(a)/b-a ? Und die Formeö für die sekante wäre dann f(x+h)^2-f(x)/h?

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Nein. Lade bitte nochmals neu (Auf Überschrift klicken). Ich habe die Antwort gerade noch etwas ausgebaut und Begriffe ergänzt.

Beachte auch die Klammern.

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Noch eine Bemerkung:

Du solltest nicht von "Ableitung einer Sekante" oder "Ableitung einer Tangente" sprechen.

Die Formeln geben dir die Steigungen einer Sekante an.

Mit dem lim davor ist es die Formel für die Steigung der Tangente und gleichzeitig Steigung der Kurve an einer bestimmten Stelle.

Man spricht von der Ableitung einer Funktion aber von der Steigung einer Geraden oder einer Kurve. 

Answer 4

Gegeben ist eine Funktion f(x) und ein Intervall [a; b].

Die Steigung der Sekante von f auf dem Intervall Intervall [a; b] ist (f(b)-f(a)) / (b-a).

Die Ableitung von f an der Stelle a ist die Steigung der Tangete von f an der Stelle a.

Um die Ableitung von f an der Stelle a zu berechnen, geht man wie folgt vor:

1. Man betrachtet nicht mehr ein konkretes Intervall [a; b], sondern alle Intervalle [a; a+h].
2. Man berechnet die Steigungen der Sekanten auf den Intervallen [a; a+h]. Laut obiger Formel ist das (f(a+h) - f(a)) / ((a+h) - a), was sich zu (f(a+h) - f(a)) / h vereinfachen lässt.
3. Die Sekanten gehen in eine Tangente über, wenn h = 0 ist. Leider darf man nicht einfach 0 für h in die Sekantenformel einsetzen, da h im Nenner steht und nicht durch 0 geteilt werden darf.
4. Man formt deshalb die Sekantenformel so um, dass man für h 0 einsetzen darf. Wie das geht hängt von der konkreten Funktion ab, dessen Ableitung man berechnen möchte.

Beispiel: f(x) = x³

Steigung der Sekante ist dann (f(x+h) - f(x)) / h

= ((x+h)³ - x³) / h

= ((x³+3x²h+3xh² +h³) - x³) / h

= (3x²h+3xh² +h³) / h

= h·(3x²+3xh +h²) / h

= 3x²+3xh +h²

Setzt man jetzt h=0, so bekommt man f'(x) = 3x²+3x·0 +0² = 3x².

Comments

Dankeschön also kann ich ja dann beide formeln verwenden für die sekante aber was ist wenn ich die ableitung der tangente berechnen möchte? Und das mit ddr h methode.. welche formel nehme ich da?

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Für die h-Methode nimmst du Formel in der das h vorkommt.

Es würde auch mit der anderen Formel gehen, ist aber aufwändiger zu rechnen.

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Also kann ich auch für die ableitung der tangente f(x+h)-f(x)/h nehmen? Dh für die ableitung der sekante und tangente kann ich die nehmen oder?

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Ja.

Allerdings solltest du die Begriffe "Ableitung der Sekante" und "Ableitung der Tangente" nicht verwenden. Sie sind zwar mathematisch korrekt, lassen aber den Gedankengang nicht erkennen, den man verfolgt:

Gegeben ist eine Funktion.

1. Man möchte die Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt a berechnen.
2. Die Ableitung der Funktion ist gleich der Steigung der Tangente an diesem Punkt.
3. Die Steigung der Tangente bekommt man, indem man die Steigung der Sekante berechnet.
   

Die Sekante ist eine lineare Funktion, hat also überall die gleiche Steigung, also auch die gleiche Ableitung. Gleiches gilt für die Tangente. Insbesondere braucht man nicht für h 0 einsetzen, um die Steigung von Ssekante und Tangente zu bekommen.