Wurzel ziehen von komplexen Zahlen? tan oder sin verwenden egal?

Question

$$ \sqrt{1}~~~~~~r=\sqrt{1^2+0^2}=1~~~~\phi=\arctan{0/1}+\pi=\pi \cdot k ~~ \rightarrow~1=e^{k\pi} $$

In der Musterlösung wird der Winkel mit sinus berechnet:

$$ \sin x = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=2 \pi \cdot k $$

Ist es egal, was für eine trig. Funktion ich verwende? Es ändert sich eig nur die Periode oder?

Answer 1

Du hast oben etwas ein Durcheinander eingegeben.

Dir geht es um die Berechnung der Arguments (Winkels) .

Also um phi.

sin(phi) = Bruch

tan(phi) = anderer Bruch

Da kannst du beides verwenden. Beachte aber, dass beide Arcusfunktionen nicht die ganzen 360° als Wertebereich haben. Du musst also immer selbst schon wissen, in welchem Quadranten der Winkel liegen muss und wie du von einem anderen Quadranten bei sinus oder bei tangens auf den zweiten (gesuchten) Wert kommst. Das ist bei sinus und tangens nicht exakt gleich. 

Natürlich muss dasselbe phi rauskommen. 

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Umrechnungsformeln

Wenn ich bspw. 16 in Polarform darstellen möchte, dann wäre mein Rechenweg

$$ \phi=\arctan \frac{0}{16} + k \pi = k\cdot \pi \\ r=16 \\ 16=16\cdot e^{ik\pi} $$

oder?

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Ja und nein.

Ja: Die 0 stimmt.

Nein. kπ ist falsch. Das ist der Teil, den du "wissen" musst aus der komplexen Zahlenebene.

Wenn man für k die Zahl 1 einsetzt, hat man π

und w = 16* e^{iπ} = 16*(-1) = - 16.

Daher 16 = 16*e^{i2kπ}

und - 16 = 16 * e^ (i (π + 2kπ))