Mengenlehre, Teilmenge. Wie komme ich mithilfe von f∈N^N und f⊆NxN auf N^N⊆P(NxN)?

Question

Beweise A∈B und A⊆C => B⊆P(C).

Präzision: Beweise A∈N^N (Funktion (N->N) und A⊆NxN => B⊆P(NxN). vgl. Kommentar.

Comments

Beweise A∈B und A⊆C => B⊆P(C).

Bist du dir sicher mit den Zeichen?

Zuerst Element, dann 2 mal Teilmenge? Wenn P die Potenzmenge sein soll, stimmt vermutlich irgendwas nicht.

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Wieso stimmt das nicht? In meinem Skript steht f∈N^N und aus der Definition der Funktion hat man f⊆NxN also N^N⊆P(NxN) und ich hab das nur allgemeiner formuliert. Wenn das mit A, B und C falsch ist, dann bitte um Erklärung warum. Und könnt Ihr mir dann erklären wie ich mithilfe von f∈N^N und f⊆NxN auf N^N⊆P(NxN) komme?

N ist die Menge der natürlichen Zahlen. P ist die Potenzmenge.

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So ist die Sache schon etwas logischer. Grund N^N als Teilmenge von NxN betrachtet kann keine Elemente enthalten, die nicht in (NxN) liegen.

Answer 1

Annahme das ist genau so, wie du es schreibst.
Beweise A∈B und A⊆C => B⊆P(C).
A⊆C bedeutet: A und C sind Mengen
B⊆P(C).         P(C) ist eine Menge von Mengen. Daher muss auch B eine Menge von Mengen sein.
A∈B : A ist eine der Mengen von B.
Nun zum Beweis:

Voraussetzung: 1. A ist eine Menge in B und 2. A eine Teilmenge von C.
Wegen 2. ist A ein Element von P(C).

B könnte nun aber eine Menge von Mengen sein, die die Menge

C u (ein Element, das nicht in C ist) als Teilmenge enthält. Das steht im Widerspruch zu
B⊆P(C)

Deshalb ist die Behauptung in der vorgegebenen Allgemeinheit falsch.

Kommentar zur Präzision: Wie komme ich mithilfe von f∈N^N und f⊆NxN auf N^N⊆P(NxN)?

Eine Funktion f∈N^N ordnet jedem Element von N ein Element von N zu. Wenn du das aufzeichnest, bekommst du unendlich viele Gitterpunkte im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Wobei jedem Wert auf der x-Achse nur ein y-Wert zugeordnet wird.

Nun kannst du auch sagen, dass deine Punkte im ersten Quadranten eine Punktmenge in NxN sind. Daher f⊆NxN.

Da das für alle f Element N^N so ist, sind alle einzeln Elemente von P(NxN). In ihrer Gesamtheit sind sie eine Teilmenge von P(NxN). Formal:  N^N⊆P(NxN)?

Comments

Danke Lu, könnt ihr mir aber noch meine obige Frage beantworten? Danke.

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@Anonym. So allgemein wie formuliert war die Aussage leider falsch. Vielleicht komm ich morgen mal dazu deine Präzision genauer anzusehen.

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Ich hab meine Interpretation und Begründung der präzisierten Fragestellung inzwischen ergänzt. Hoffentlich wirst du daraus einigermassen schlau ;)

Richtig beweisen kann man die Darstellung eigentlich nicht. Das ist eher Konvention.