Anwendung von e-Funktion. Zahl der Bakterien zum Zeitpunkt t (Sekunden) N(t)=400 / (1+3e^{-t})

Question

Die Zahl der Bakterien zum Zeitpunkt t (Sekunden) wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben.

N(t)=400 / (1+3e^-t)

a) Zeigen Sie, dass N(t) auch in der Form N(t)= (400e^t) / (e^t+3) dargestellt werden kann.

e) Begründen Sie rechnerisch, dass die Anzahl der Bakterien im Beobachtungszeitraum ständig zunimmt.

Soll man hier zeigen, dass die Funktion streng monoton steigt?

f) Zu welchem Zeitpunkt ist das Wachstum der Bakterien am stärksten?

Ist hier der Wendepunkt gemeint?

Answer 1

a)  Multipliziere Zähler und Nenner mit e^t  (also erweitern,   e^t • e^-t = e⁰ = 1 )

e) genau das

f) ja, weil die Zunahme f ' dort die größte Steigung hat

Gruß Wolfgang

Comments

Ich bin gerade auf folgenden Ansatz gekommen:

N(t)= 400*(1+3e^-t)^-1

Ich schaffe es jedoch gerade nicht das weiter umzuformen. Wie müsste ich denn jetzt die Klammer mit der hoch -1 ausmultuplizieren? Kannst du das mal kurz zeigen?

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du kannst nur die 400 als 1/400 in die Klammer multiplizieren:

(1/400 + 3/400 • e^-1)^-1

oder  400 / (1 +3e^-t) schreiben

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Also ich kann nicht von 400*(1+3e^-t)^-1 áuf (400e^t) / (e^t+3) durch Rechenoperationen kommen, indem ich z. B. die hoch -1 in die Klammer multipliziere? Wenn doch wie geht das?

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doch:

400*(1+3e^-t)^-1 =    400 / (1 +3e^-t)   (mein letzter Kommentar)

Multipliziere Zähler und Nenner mit  e^t  (also erweitern,   e^t • e^-t = e⁰ = 1 )

=   400 e^t /  [ (1 +3e^-t) • e^t ] =  400 e^t /  (e^t +3) 

(steht in der ersten Zeile der Antwort)

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Ja, aber gibt es keine andere Möglichkeit?

Mich würde interessieren, ob ich mit diesem AUsdruck 400*(1+3e^-t)^-1 ohne Erweiterung auf (400e^t) / (e^t+3) kommen kann?

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nein #################

Answer 2

Hier einmal die Antworten für a und e
Hinweis die e-Funktion ist stets positiv