Tangente-, Passante- und Sekantengleichung ohne Ableitung bestimmen

Question

Hallo liebe Gemeinschaft,

ist es richtig bzw. könnt ihr den Lösungsweg nochmal erläutern: Tangente (1 Schnittpunkt) 

Passante (keine Schnittpunkte), Sekante (2 Schnittpunkte) und die jeweilige Gleichung dazu. 

1. Tangente  (Diskriminante = 0)

p (x)  =  - 2x²  +  x  -  4   und   g (x)  =  x  -  3           (Gleichungen gleichsetzen)

p   geschnitten  mit  g1      -->       - 2x²  - 1  =  0   (nach meiner Berechnung)

Laut  Lösung  soll die "Schnittgleichung"  aber in der Form   -32  - 8 t  =  0   herauskommen.

Aber wie komme ich auf diese Gleichung?

Für  t  käme dann   - 4  heraus.  Für  t  =  -4  berührt die Gerade g (x)   x  =  -4  die Parabel p.

 

2. Passante  (Diskriminante < 0)

-32  - 8 t  <  0      -->     t  >  - 4       -->   g (x)  =  x + t    für    t  >  - 4

 

2. Sekante    (Diskriminante > 0)

g t (x)   =  x + t   für  t   < - 4

 

Stimmt das so bzw. könntet ihr es erläutern, vor allem wie man auf die oben angegebene Gleichung

-32  - 8 t  =  0    kommt?

Dankeschön für die Beiträge.

Answer 1

Anhand der Lösung, nehme ich an, dass hier vorausgesetzt ist, dass g(x) die Steigung 1 hat.

D.h. Ansatz für g: g(x) = 1*x + t, t ist gesucht.

Jetzt tut man erst mal so, wie wenn man die Schnittstellen berechnen würde.

p (x)  =  - 2x²  +  x  -  4   und   g (x)  =  x  +  t

Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach x auflösen

 - 2x²  +  x  -  4  =  x  +  t              

0 = 2x^2 + 4 + t

Das ist eine quadratische Gleichung mit a=2 , b=0 und c=(4+t)

Nun musst du nur die Anzahl der Lösungen unterscheiden. Die ist abhängig von der Diskriminante (d.h. dem Term unter der Wurzel: b^2 - 4ac).

Nun  a,b,c dort einsetzen.

Diskriminante D = 0 - 4*2*(4+t) = 0

------> -32 -8t=0, -32 = 8t,  t=-4 genau eine Lösung: Tangente

Diskriminante D = 0 - 4*2*(4+t) < 0

-------> -32 -8t<0, -32 < 8t,  t> -4 keine Lösung: Passante

Diskriminante D = 0 - 4*2*(4+t) > 0

-------> -32 -8t>0, -32 > 8t,  t< -4 zwei Lösungen: Sekante

Comments

Falls du dich gerade auf eine Prüfung vorbereitest: Eine ähnliche Aufgabe mit t an einer andern Stelle:

https://www.mathelounge.de/6481/sekante-tangente-und-passante

Auch dort kommt die Diskriminante ins Spiel.

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Dankeschön für die Antwort.

Hab noch eine Frage bezüglich der Diskriminante:

Diskriminante D = 0 - 4*2*(4+t) = 0

- 4 * 4 * 2 * 4  =  - 32      

Warum muss beim Ausmultiplizieren von  t  nicht stehen:    - 4 * 2 * t    (würde  -8 ergeben)?

Jeden Faktor vor der Klammer mit jedem Faktor in der Klammer multiplizieren?

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Danke für die Info. Selbstverständlich muss dort -8 stehen. Ich habe das (hoffentlich vollständig) korrigiert.