Kubische Gleichung 3. Grades lösen: x^3+x^2-20x+24=0

Question

Ich soll bei der Gleichung die Extrempunkte berechnen.

Ich weiß nämlich nicht wie ich beginnen soll...

Ich bedanke mich im voraus :)

Comments

Ich soll aus der Gleichung alle Nullstellen mit der pq-Formel berechnen. Kann mir vielleicht jemand helfen?

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Deine Frage ist etwas verwirrend. Sollst du
- die Nullstellen ( y = 0 ) bestimmen
oder
- die Extrempunkte berechnen ?

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Die Extrempunkte soll ich berechnen. Die Nullstellen sind mir ja schon bekannt, bloß was hat es mit der ersten, zweiten und dritten Ableitung auf sich? Das verstehe ich nicht so ganz.

Mfg 

Answer 1

Kann es sein, dass es +24 lauten sollte? Sonst gibt es keine ganzzahligen Nullstellen und du musst numerisch lösen (Newton-Verfahren).

Comments

Du hast recht, es soll +24 sein, danke. Kannst du mir vielleicht dabei helfen, die Extrempunkte zu berechnen?

Answer 2

Hallo ,

bring die 24auf die andere Seite

x³+x²-20x = 24             dann x ausklammern

x( x²+x-20) = 24          pg -Formel für (x²+x-20)  anwenden

x(x-4)(x+5) =24

x (x-4) (x+5) -24= 0

vielleicht kommst du damit weiter!

Nullstellen    ≈- 4,33

                    ≈ -1,21

                    ≈ 4,55

Answer 3

Mögliche extremstellen sind die Nullstellen  der ersten Ableitung. Also von der Funktion die erste Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen. Dann mit der zweiten Ableitung untersuchen, um welche Sorte extremum es sich handelt.

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Die Nullstellen sind mir bekannt. x1 = 3 ; x2 = -5,4641 ; x3 = 1,4641, doch wie leite ich jetzt ab?

Ich habe wirklich nicht viel Ahnung davon, vielleicht können Sie mir ja noch weiterhelfen.

Mfg

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Schau dir unbedingt die Ableitungsregeln mal an.

f'(x)= 3x^2 + 2x - 20=0  | /3

x^2 + 2/3x -20/3=0

PQ-FORMEL

x_12=-1/3±√(1/9+60/9)

x1 = -1/3+2,603=2,27

x2 = -1/3-2,603=-2,94

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Und jetzt möchte ich ja die Extrempunkte bestimmen und das mache ich ja, indem ich die Extremstellen in unsere Funktion einbaue.

f(2,27)  = 2,27³ + 2,27² - 20 * 2,27 + 24 = -4,550017

Der erste Extrempunkt ist also (2,27; -4,550017).

f(-2,94) = -2,94³ - 2,94² - 20 * (-2,94) + 24 = 48,744216

Der zweite Extrempunkt ist also (-2,94 ; 48,744216).

Ist das richtig so?

Answer 4

Die Lösungen der Gleichung sind:

x₁ = 3
x₂ = -5,4641 
x₃ = 1,4641

Siehe möglichen Lösungsweg hier: Rechner Kubische Gleichungen

Andernfalls Newton-Verfahren anwenden.

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Allerdings sind das die Nullstellen der Funktion und nicht der Ableitung.

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Die Frage war zweimal gestellt. Einmal mit Nullstellen, einmal mit Extremstellen. Das Duplikat ist noch nicht zusammengeführt.

Aber richtig, die Extremstellen können wir nachreichen (via Rechner für Quadratische Gleichungen):

f´(x) = 3x^2 + 2x - 20 = 0

Allgemeine Form:

3·x² + 2·x + (-20) = 0

Berechnung der Normalform:

3·x² + 2·x + (-20) = 0 | :3

3·x²:3 + 2·x:3 + (-20):3 = 0

1·x² + 0,66667·x + (-6,66667) = 0

p = 0,66667 und q = -6,66667

Lösung mit p-q-Formel:

x_1,2 = -(^p⁄₂) ± √((^p⁄₂)² - q)

x_1,2 = -(^0,66667⁄₂) ± √((^0,66667⁄₂)² - (-6,66667))

x_1,2 = -0,33334 ± √6,77778

Lösungen:

x₁ = -0,33334 + 2,60342 = 2,27008

x₂ = -0,33334 - 2,60342 = -2,93676

Answer 5

f ( x ) = x^3 + x^2 - 20 * x + 24
f ´( x ) = 3 * x^2 + x - 20

3 * x^2 + x - 20 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung die mit der pq-Formel
oder der quadratischen Ergänzung gelöst werden kann.

zur Kontrolle :
x = -2.754
x = 2.42

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Hab da was anderes raus. Deine Ableitung stimmt nicht.

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Es kann sein das eine Stelle mit waagerechter Tangente
( 1.Ableitung = 0 ) kein Extrempunkt ist sonderen ein Sattelpunkt.

Zur Überprüfung bildet man die 2.Ableitung ( Krümmung )
f ´´ ( x ) = 6 * x + 1

Dann wird eingesetzt
f  ´´ ( -2.754 ) = 6 * 2.754 + 1  ist negativ ( Rechtskrümmung = Hochpunkt )
f  ´´ ( 2.42 ) = 6 * 2.42 + 1  ist positiv ( Linkskrümmung = Tiefpunkt )

Ist die 2.Ableitung = 0 ( keine Krümmung ) wäre es ein Sattelpunkt.

~plot~ x^{3}+x^{2}-20*x+24;[[-10|10|-10|70]] ; { 2,27 | -4,550017 } ; { -2.94 | 66.03 } ~plot~

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Danke dir, ich habe die pq-Formel angewendet und komme auf dasselbe Ergebnis.

Kannst du mir erklären, wie du auf f ´( x ) = 3 * x² + x - 20 gekommen bist? 

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Die Ableitung stimmt nicht. Es muss heißen

f'(x)=3x^2+2x-20

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Bei mir ist ein kleiner Rechenfehler vorhanden
Anstelle
f ( x ) = x³ + x² - 20 * x + 24
f ´( x ) = 3 * x² + x - 20

muß es heißen
f ( x ) = x³ + x² - 20 * x + 24
f ´( x ) = 3 * x² + 2 * x - 20

siehe Rechnung kofi.
Ansonsten kann alles damit nochmals berechnet werden.
Es ändert sich aber nicht viel etwas.

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Und jetzt möchte ich ja die Extrempunkte bestimmen und das mache ich ja, indem ich die Extremstellen in unsere Funktion einbaue.

f(2,27)  = 2,27³ + 2,27² - 20 * 2,27 + 24 = -4,550017

Der erste Extrempunkt ist also (2,27; -4,550017).

f(-2,94) = -2,94³ - 2,94² - 20 * (-2,94) + 24 = 48,744216

Der zweite Extrempunkt ist also (-2,94 ; 48,744216).

Ist das richtig so?

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Ich habe dir beide Punkte oben in die Grafik eingezeichnet.
48.74 scheint nicht zu stimmen.

66.03 ist richtig.
Das Vorzeichen beim  2.Summanden stimmt nicht.