Warum funktioniert angeblich das Quotientenkriterium nicht?

Question

Bei folgender Aufgabe wurde im Tutorium behauptet, dass das Quotientenkriterium nicht zum Erfolg führen würde. Aber ich habe diese Aufgabe mit dem Quotientenkriterium lösen können.

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:

$$\sum_{n=1}^{\infty}{} \frac { { z }^{ { n }^{ 2 } } }{ { n }^{ 8 } } $$

Hier habe ich folgendes gerechnet:

$$\lim_{n\to\infty}|\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }|=\lim_{n\to\infty}|\frac { \frac { 1 }{ { n+1 }^{ 8 } } }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 8 } } }|=\lim_{n\to\infty}|\frac { { n }^{ 8 } }{ { { (n+1) }^{ 8 } } }|=\lim_{n\to\infty}\frac { n*{ (1) }^{ 8 } }{ n*(1+\frac { 1 }{ n }){  }^{ 8 } }=>r = 1$$

Ich komme auf das selbe Ergebnis wie in der Musterlösung, aber kann mir jemand sagen warum das angeblich falsch sein soll? Und wie kommt man darauf, dass das Quotientenkriterium nichts bringt?

Answer 1

Deine Interpretation von \(a_n\) ist falsch. \(a_n\) ist der Koeffizient von \(z^n\).

Comments

Habe ich nicht genau das getan? \(\frac { 1 }{ { n }^{ 8 } }\) ist doch der Koeffizient von \( { z }^{ { n }^{ 2 } } \).

---

Offensichtlich nicht. \(a_{n^2}=n^{-8}\). Die restlichen \(a_n\) sind null.

---

Wie kommt man darauf, dass die restlichen a_n null sind?

---

Daran, dass andere Potenzen als \(z^{n^2}\) nicht vorkommen. Da muessen die Koeffizienten der nichtvorkommenden Potenzen offensichtlich null sein.

---

Ok, vielen Dank. Und ist das auch der Grund dafür, dass das Quotientenkriterium nicht angewendet werden kann? Oder erkennt man doch an etwas anderem, dass das Quotientenkriterium nichts bringt?

---

Schreib doch mal \(a_{n+1}/a_n\) richtig auf, dann siehst Du's.

---

Ich merke gerade ich wüsste noch nicht einmal wie. Ich hätte fast versucht für a_n =\( \frac { \sqrt { \frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 8 } } } }{ \sqrt { \frac { 1 }{ { n }^{ 8 } } } } \) zu schreiben, da \( { a }_{ { n }^{ 2 } }= \frac { 1 }{ { n }^{ 8 } } \). Aber das wäre falsch. Vielen vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden denke ich.

---

Na es ist $$a_n=\begin{cases}n^{-4}&\text{falls $n$ Quadratzahl,}\\0&\text{sonst.}\end{cases}$$ Insbesondere ist \(a_{n+1}/a_n\) meistens undefiniert. Deshalb steht auch bei der aus dem Quotientenkriterium für den Konvergenzradius abgeleiteten Formel immer als Voraussetzung dabei, dass fast alle \(a_n\ne0\) sein muessen.