Unendliche Reihen. Wann a_n+1 / a_n und wann a_n / a_n+1? Quotientenkriterium resp. Konvergenzradius.

Question

Woher weiss ich oder besser erkenne ich ob ich beim lösen einer Aufgabe bei den Unendlichen Reihen

$$\frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } \text { oder } \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } }$$

nehmen muss. In meinem Papula steht das ja einmal unter Quotientenkriterium und unter Konvergenzradius?

Answer 1

 In meinem Papula steht das ja einmal unter Quotientenkriterium und unter Konvergenzradius???

Das Quatientenkriterium gilt allgemein für Reihen mit den Folgengliedern cn. bei | c_n+1 / c_n | ≤ q <1 ist die Reihe absolut konvergent.

Konvergenzradius bezieht sich auf die Konvergenz einer Potenzreihe mit den Summanden

an(x - xo)^n

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Hier ist c_n = an(x-xo)^n

und c_n+1 = a_n+1(x-xo)^{n+1}

Konvergenz gemäss Quotientenkriterium, wenn

|c_n+1 / c_n |  = | a_n+1(x-xo)^{n+1} / an(x-xo)^n | ≤ q =1

Jetzt Quotient umformen.

| a_n+1(x-xo)^{n+1} / an(x-xo)^n |  =| a_n+1(x-xo) / an | ≤ q = 1

x-xo ist der Konvergenzradius r

| a_n+1 * r / an | ≤ q < 1

r ausklammern und q  zur Vereinfachung weglassen.

r* | a_n+1  / an |  < 1

Multiplikation mit dem Kehrbruch

r < | a_n / a_n+1 |

Das Problem mit dem Rand wird in der Regel erst am Schluss behandelt.

und R = lim _n→∞  | a_n / a_n+1 | als Konvergenzradius angegeben.

r *| a_n+1 / an | ≤ q < 1

 

Comments

Oh, man! Ich habe nur Bahnhof verstanden.

Was mache ich denn wenn in der Aufgabe steht: "Bestimmen sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe" ???

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Da hast du 

a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3…

Du lässt die ganzen x^etwas oder allenfalls (x-xo)^{êtwas} aus der Rechnung weg und berechnest den Konvergenzradius

r = lim   |a_n / a_n+1 |

Die Reihe konvergiert nun für |x-xo| < r und divergiert für |x-xo| > r.

Auf dem Rand |x-xo| musst du noch konkret schauen. D.h. die einzelnen Werte für x einsetzen und damit rechnen wie mit einer gewöhnlichen Reihe.