Kreisberechnungen: Länge des Riemens berechnen?

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie die Länge des gekreuzten Riemens (in Abhängigkeit von r).

b) Berechnen sie r, wenn l = 5 m ist.

Comments

Hier mal eine Skizze 'von Hand'. Ich sehe aber, dass JR bereits fertig gerechnet hat.

Answer 1

Berechnung von l in Abhängigkeit von r:

Der Riemen bildet zusammen mit dem Radius ein großes und ein kleines Drachen-Viereck.
(Der Riemen ist ja wie eine Tangente an den Kreis. Wenn man also eine Strecke von den Berührpunkten BP (einer beispielhaft eingezeichnet) des Riemens außen am Kreis zum Mittelpunkt M₁ und M₂ der Kreise zeichnet erhält man die Drachen-Vierecke.)

Die Strecke Kreismittelpunkt - Berührpunkt steht senkrecht auf dem Riemen. Man kennt also den Winkel --> 90°.

Winkelsumme im Viereck 360°:
a = 360° -90° -90° -60° = 120°;

Grünes Dreieck ist gleichseitig:
 (c/2) / (2*r) = sin(60°) --> c = 4*r*sin(60°) = 2*sqrt(3)*r

Blaues Dreieck ist gleichseitig:
(d/2) / r = sin(60°)  --> d = sqrt(3)*r;

Teilumfang großer Kreis:
phi = 360° -120° = 240° = 4/3*pi;
U_g = phi*2*r = 8/3*pi*r;

Teilumfang kleiner Kreis:
phi = 4/3*pi;
U_k = phi*r = 4/3*pi*r;

Länge des Riemens:
l = U_g +U_k +2*c +2*d =
=  8/3*pi*r +4/3*pi*r +4*sqrt(3)*r +2sqrt(3)*r =

= r* [ 2* (2*pi +3*sqrt(3) ) ];

 

Für l = 5m ist r:

r = l / [ 2*(2*pi +3*sqrt(3)) ] = 5m / [ 2*(2*pi +3*sqrt(3)) ] = 0,22 m;

 

lg JR

 

 

Ergänzung:

Ich habe noch das rote rechtwinklige Dreieck gekennzeichnet. Das kannst Du auch verwenden um c zu berechnen, so wie es Mathecoach gemacht hat. Das ist meiner Meinung nach auch die bessere Lösung. Meine funktioniert nur weil der Winkel beim Riemen gerade 60° ist.

Comments

Danke viel vielmals für deine Antwort!! Etwas verstehe ich aber nicht ganz, und zwar Wie du auf die Teilumfänge der Kreise kommst..Wie kommst du darauf dass Phi 4/3 Pi ist? Und wieso berechnest du bei dem Umfang Phi*2*r, wäre das nicht Pi*2*r?

Liebe Grüsse, Tina

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Hallo Tina

Der Umfang eines Vollkreises berechnet sich so U = 2*pi*r.

Wenn Du nun nur einen Teil des Kreisumfangs berechnen möchtest, rechnest Du auch mit dem entsprechenden Teilwinkel. Hier ein Beispiel:

Wenn Du U in der Zeichnung berechnen willst, musst Du den Winkel kennen, der von U eingeschlossen wird und den Radius r des Kreises. Es gilt dann:

phi = 360° -beta = 315°;

U = phi/360° *2 *pi *r = phi/180° *pi *r = 7/4 *pi *r;

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Wie kommst du darauf dass Phi = 4/3 Pi ist?

Phi ist der Winkel der von dem Teil des Kreises eingeschlossen wird, der von dem Riemen bedeckt wird. Man kann Damit die Länge des Riemenabschnitts berechnen, der auf dem Kreis liegt.

 

Und wieso berechnest du bei dem Umfang Phi*2*r, wäre das nicht Pi*2*r?

Phi ist der Teilwinkel. R = 2*r ist der Radius des großen Kreises. Pi*2*r liefert den Umfang, des ganzen Kreises, Phi*2*r dagegen den gesuchten Teilumfang.

Answer 2

Teil dir den Riemen in einzelne Teile auf, deren Länge du berechnen kannst und addiere dann alle Teile.

l = 2*pi * (2r) * 240/360 + 2*pi * (r) * 240/360 + 2 * 2*r/tan(30) + 2 * r/tan(30)

l = 4*pi*r + 6*r/tan(30)

r = l/(4*pi + 6/tan(30))