Lösungsmenge von Ungleichung x^2 > x

Question

Wie kommt man genau auf die Lösungsmenge der Ungleichung x^2 > x ?

Die Lösung ist x<0 und x>1.

x>1 ist mir klar durch das durchdividieren von x aber wie komm ich auf x < 0?

Dankeschön!

Answer 1

x² > x

x² - x > 0

x • (x -1) > 0

der Term  hat die Nullstellen x = 0 und x =1

da er eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, ist er genau dann positiv ( > 0 ), wenn die x-Werte unterhalb von 0 oder oberhalb von 1 liegen, also für x<0 oder x>1.

L = ] - ∞ ; 0 [  ∪ ] 1 ; ∞ [

Gruß Wolfgang

Comments

Perfekt, Danke dir für die ausführliche Erklärung! :-)

Answer 2

x^2 > x

Warum ist das für negative Werte erfüllt. Naja. Links steht durch das quadrat etwas positives und rechts etwas negatives. Etwas positives ist aber immer größer als etwas negatives.

Comments

Ja genau das ist mir klar das die Zahl durch das Quadrieren positiv wird und dann größer als die negative ist.

Kann man ausgehend von x^2 >x dies auch mathematisch zeigen?

Wie z.B

x^2 > x / :x

x > 1

---

x^2 > x

x^2 - x > 0

x(x - 1) > 0

Ein Produkt ist positiv wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.

x > 0 und x - 1 > 0 --> x > 1

Also x > 1

x < 0 und x - 1 < 0 --> x < 1

Also x < 0

---

Du kannst auch das Teilen durch x anwenden, aber das macht es auch eher komplizierter, denn dann musst Du ebenfalls eine Fallunterscheidung für x machen:

\(x^2 > x  \qquad \vert :x  \quad \text{da} \quad x \neq 0 \)

1. Fall \( x <0 \)

\( x^2 > x \)

\( x < 1 \)

\( x<0 \wedge x<1 \Rightarrow x<0 \)

2. Fall \( x >0 \)

\( x^2 > x \)

\( x > 1 \)

\( x>0 \wedge x>1 \Rightarrow x>1 \)

zusammen

\( \mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \vert x<0 \vee x>1 \} \)

Gruss