zur Extrempunktbestimmung (Scheitelpunkt) einer Parabel fallen mir spontan 3 Wege ein.
1.) Umformen in Scheitelpunktform und Ablesen der Koordinaten
\( f(x)= ax^2 + bx +c = a \cdot (x-d)^2 + e \)
Scheitelpunkt S(d/e)
2.) Scheitelpunkt ueber die Nullstellen bestimmen
\( f(x_0)=0= ax_0^2 + bx_0 +c \)
\( x_s = \frac{ x_{0_1} + x_{0_2}}{2} \)
Scheitelpunkt S ( xs / f(xs))
3. Extrempunkt bestimmen ueber die Ableitung
\( f'(x_e)=0= 2ax_e + b \)
Extrempunkt E ( xe / f(xe))
Deine Formel für die Einnahmen ist korrekt, Du hast aber einen kleinen Rechenfehler beim ausmultiplizieren, der hier das Endergebnis aber nur unwesentlich beeinflusst.
\( m(k)= (20-2k) \cdot (754 + 73k) = 15080 +1460k - 1508k - 146k^2 \)
\( m(k) = -146k^2 -48k + 15080 \)
Das eine Erhoehung nicht foerderlich waere, kann man auch schon anhand der Verhaeltnisse bestimmen.
Eine Erhoehung um weniger als ein Zehntel des Beitrags laesst ein Zehntel der Beitraege wegfallen. Das kann also nicht mehr werden. Daher gehe ich davon aus, dass die Aufgabenstellung ggfs. noch mehr Informationen haben koennte, so dass sich eine andere Berechnung ergibt.
Die Nullstellen haettest Du desweiteren schon an der zuerst aufgestellten Formel ablesen koennen, denn ein Produkt ergibt 0, wenn einder der beiden Faktoren 0 ist.
\( m(k)= (20-2k) \cdot (754 + 73k) \)
\( 20 -2k = 0 \Leftrightarrow k = 10 \qquad \vee \qquad 754 + 73k = 0 \Leftrightarrow k= - \frac{754}{73} \)
Gruss
