Integral mit Betragsstrichen berechnen

Question

Hallo ich soll dieses Integral berechnen :

$$\int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ (x+\pi )\sin { (|x|) }  } dx$$

Wie komme ich hier zur Stammfunktion , was muss ich mit dem Betrag im sinus machen?

Answer 1

Erstmal eine Fallunterscheidung machen

Fall 1: x >= 0

f1(x) = (x + pi) * sin(x)

f1(x) = SIN(x) - (x + pi)·COS(x)

Fall 2: x <= 0

f2(x) = (x + pi) * sin(-x) = - (x + pi)·SIN(x)

F2(x) = (x + pi)·COS(x) - SIN(x)

Comments

Hallo Mathecoach danke für deine rasche Antwort ,

dh also bei Beträgen muss ich immer eine Fallunterscheidung machen und das ergibt dann mehrere potenzielle Stammfunktionen?

bei f2(x) hast du bei sin(-x) das minus herausgehoben , geht das weil sin(x) eine gerade Funktion oder wie man das nennt ,ist ?

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Sinus ist eine Ungerade Funktion und ist Punktsymmetrisch. D.h. es gilt

sin(-x) = -sin(x)

Kosinus wäre Achsensymmetrisch und es gilt

cos(-x) = cos(x)