Choleskyzerlegung, welchen Wert hat das Element ℓ44?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix

\( \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr} 4 & 8 & -10 & 8 \\ 8 & 32 & -16 & 16 \\ -10 & -16 & 62 & -20 \\ 8 & 16 & -20 & 17 \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie \( \boldsymbol{L}=\left(\ell_{\mathrm{ij}}\right)_{1} \leq i, j \leq 4 \) in der Choleskyzerlegung \( \boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{L}^{\top} . \) Welchen Wert hat das Element \( \ell_{44} \) ?

Answer 1

Gesucht ist eine untere Dreiecksmatrix L mit positiven Diagonalelementen für die gilt A = L·L^T.

Berechne die l_ij der Reihe nach von l₁₁ bis l₄₄ wie im fogenden beschrieben.

\( \left(\begin{array}{cccc}4 & 8 & -10 & 8 \\ 8 & 32 & -16 & 16 \\ -10 & -16 & 62 & -20 \\ 8 & 16 & -20 & 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}l_{11} & 0 & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} & 0 \\ l_{4 I} l_{42} & l_{43} & l_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}l_{11} & l_{21} & l_{31} l_{4 l} \\ 0 & l_{22} & l_{32} & l_{42} \\ 0 & 0 & l_{33} & l_{43} \\ 0 & 0 & 0 & l_{44}\end{array}\right) \)
(1) \( l_{11}^{2}=4 \Rightarrow l_{11}=2 \)
(2) \( l_{21} \cdot l_{11}=8 \Rightarrow l_{2 I}=4 \)
(3) \( l_{21}^{2}+l_{22}^{2}=32 \Rightarrow l_{22}=4 \)
(4) \( l_{31} \cdot l_{11}=-10 \Rightarrow l_{31}=-5 \)
(5) \( l_{3 l} \cdot l_{21}+l_{32} \cdot l_{22}=-16 \Rightarrow l_{32}=1 \)
(6) \( l_{3 l}^{2}+l_{32}^{2}+l_{33}^{2}=62 \Rightarrow l_{33}=6 \)
(7) \( l_{41} \cdot l_{11}=8 \Rightarrow l_{41}=4 \)
(8) \( l_{4 I} \cdot l_{21}+l_{42} \cdot l_{22}=16 \Rightarrow l_{42}=0 \)
(9) \( l_{41} \cdot l_{3 l}+l_{42} \cdot l_{32}+l_{43} \cdot l_{33}=-20 \Rightarrow l_{43}=0 \)
(10) \( l_{4 l}^{2}+l_{42}^{2}+l_{43}^{2}+l_{44}^{2}=17 \Rightarrow l_{44}=1 \)