Wie groß ist die Verkaufsmenge, wenn die Preise so gewählt werden, dass maximaler Gewinn erzielt wird?

Question

Aufgabe:

Frage
Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter \( A \) und \( B \) zu den (veränderbaren) Preisen \( p_{1} \) (Gut \( A \) ) und \( p_{2} \) (Gut \( B \) ) an.

Die Nachfrage nach diesen beiden Gütern wird durch die beiden Nachfragefunktionen
\( \begin{array}{l} q_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)=-11-9 p_{1}+33 p_{2} \\ q_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)=96-52 p_{1}-16 p_{2} \end{array} \)
bestimmt, wobei \( q_{1} \) die Nachfrage nach Gut \( A \) und \( q_{2} \) die Nachfrage nach Gut \( B \) beschreibt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen pro Stück \( 1 \mathrm{GE} \) (Gut \( A \) ) und \( 1 \mathrm{GE} \) (Gut \( B \) ).

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Paar ( \( p_{1}, p_{2} \) ) von Preisen für die beiden Güter \( A \) und \( B \), sodass das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt.

Wie groß ist die Verkaufsmenge \( q_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right) \), wenn die Preise \( p_{1} \) und \( p_{2} \) so gewählt werden, dass maximaler Gewinn erzielt wird?

Answer 1

Gewinn = q1 * (p1 - 1) + q2 * (p2 - 1)

Die Funktionen für q1 und q2 könnte ich hier einsetzen

Gewinn = (-11 - 9p1 + 33p2) * (p1 - 1) + (96 - 52p1 - 16p2) * (p2 - 1)

Ich multipliziere das mal aus

Gewinn = (- 9·p1^2 + 33·p1·p2 - 2·p1 - 33·p2 + 11) + (- 52·p1·p2 + 52·p1 - 16·(p2)^2 + 112·p2 - 96)
Gewinn = - 9·p1^2 - 19·p1·p2 + 50·p1 - 16·p2^2 + 79·p2 - 85

Wir haben maximalen Gewinn wenn die partiellen Ableitungen Null werden

Gewinn/dp1 = - 18·p1 - 19·p2 + 50 = 0
Gewinn/dp2 = - 19·p1 - 32·p2 + 79 = 0

Das LGS hat die Lösung

p1 = 99/215 ∧ p2 = 472/215
p1 = 0.4604651162 ∧ p2 = 2.195348837

Gewinn = 13.22790697

Ich probiere mal eine Skizze zu machen:

Ich spare mir mal das Ausrechnen der Verkaufsmenge, weil das ja nur noch ein pures Einsetzen ist. 

Versuch das ganze mal nachvollziehen. Und eventuell auch die hinreichende Bedingung zu machen, dass dies wirklich ein Maximum ist.

Comments

Danke für den Rechenweg bisher!! ;) Ich habs versucht mit einsetzen, kommt dann aber ein negativer Wert raus... ich komm nicht aufs richtige Ergebnis.

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Wenn du nicht mal eine Rechnung anführst, kann ich nicht klären wo du da Probleme hast.

q1 = -11 - 9p1 + 33p2 = -11 - 9*99/215 + 33*472/215 = 2464/43 = 57.30232558

q2 = 96 - 52p1 - 16p2 = 96 - 52*99/215 - 16*472/215 = 1588/43 = 36.93023255

Wie gesagt müssen hier ja nur die Werte eingesetzt werden.