Zeigen Sie, dass -0,5*e^{-x} *(cos x- sinx) eine Stammfunktion von e^-x*cos x ist.

Question

ich habe folgende Funktion

f(x)= -0,5*e^{-x} *(cos x- sinx)

nun soll ich zeigen, dass die gegebene funktion eine Stammfunktion von e^-x *cosx ist.

Meine ableitung lautet wie folgt:

0,5*e^-x *(-cos x- sinx) stimmt da so?

dann kann ich doch die einhalb wegmachen und hab dann folgenden ausdruck

(-cosx*e^-x) - (sinx * e^-x)

und jetzt?

hab keine ahnung....

Comments

Fortsetzung der Fragestellung: https://www.mathelounge.de/32464/1-2-e-x-cosx-sinx-stammfunktion-von-e-funktion-e-x-cosx?show=33370#c33370

Answer 1

f(x)= -0,5*e^-x *(cos x- sinx)

nun soll ich zeigen, dass die gegebene funktion eine Stammfunktion von e^-x *cosx ist.

Meine ableitung lautet wie folgt:

0,5*e^{-x} *(-cos x- sinx) stimmt da so?

Du vernachlässigst hier die Produktregel.

f'(x) = 0.5*e^{-x}*(cos x- sinx) - 0.5*e^{-x} *(-sinx - cosx)

Jetzt nur noch Klammern auflösen, dann fallt dann schon ein Teil weg… (Hoffentlich)

Answer 2

Die Ableitung ist nicht korrekt.

Benutze die Produktregel: ( u * v ) ' = u ' * v + u * v '
Hier:

u = -0,5 * e ^- x

u ' = 0,5 * e ^ - x

v = cos x - sin x

v ' = - sin x - cos x = - ( sin x + cos x )

also:

( u * v ) '
= 0,5 * e ^ - x * ( cos x - sin x ) + ( - 0,5 * e ^ - x * ( - ( sin x + cos x ) )
= 0,5 * e ^ - x * ( cos x - sin x ) + ( 0,5 * e ^ - x * ( sin x + cos x )
= 0,5 * e ^ - x * cos x - 0,5 * e ^ - x * sin x + 0,5 * e ^ - x  * sin x + 0,5 * e ^ - x * cos x
[Die Terme mit sin heben sich auf:]
= 0,5 * e ^ - x * cos x + 0,5 * e ^ - x * cos x
= e ^ - x * cos x