Produkt- und Kettenregel e-Funktion

Question

Aufgabe:

Bilde die Ableitung von der

Ausgangsfunktion: 

f(x)=(2x+2)*e^-x

Problem/Ansatz:

Ich blicke da leider irgendwie nicht durch :(

Als Lösung ist angegeben:

f‘(x)=2*e^-x - (2x+2)*e^-x

= (2-2x-2)*e^-x

=-2x*e^-x

Also Produktregel ist:

f(x)=u(x)*v(x)

=> f‘(x)=u‘(x)*v(x)+u(x)*v‘(x)

Und Kettenregel ist:

f(x)=u(v(x))

=> f‘(x)=u‘(v(x))*v‘(x)

Schon beim ersten Schritt blicke ich nicht wirklich durch...

Wie komme ich von

f(x)=(2x+2)*e^-x

zu f‘(x)=2*e^-x - (2x+2)*e^-x

auch der nächste Schritt zu

f‘(x)=(2-2x-2)*e^-x

ist mir irgendwie nicht klar...

Nur den letzten Schritt zu

f‘(x)=-2x*e^-x

verstehe ich, weil hier einfach nur die Klammer ausgerechnet wurde.

Kann mir das jemand bitte etwas genauer erklären mit Zwischenschritten? Was ist u und was ist v? Und wo genau muss ich Produkt- und wo Kettenregel benutzen?

Answer 1

................................

Answer 2

f(x) = (2·x + 2)·e^(-x)

u(x) = 2·x + 2

u'(x) = 2

v(x) = e^(-x)

v'(x) = -e^(-x)

f(x) = u(x) * v(x)

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

f'(x) = 2 * e^(-x) + (2·x + 2) * (-e^(-x))

f'(x) = e^(-x) * (2 + (2·x + 2) * (-1))

f'(x) = e^(-x) * (2 - 2·x - 2)

f'(x) = e^(-x) * (-2·x)

Answer 3

f(x)=(2x+2)·e^-x 

Das ist ein Produkt

        f(x) = u(x) · v(x)

bestehend aus den Faktoren

        u(x) = 2x+2

und

        v(x) = e^-x.

Also Produktregel ist: f(x)=u(x)*v(x) => f‘(x)=u‘(x)*v(x)+u(x)*v‘(x)

Um f‘(x) zu bestimmen, brauchstr du also u(x), v(x), u'(x) und v'(x).

u(x), v(x) habe ich bereits angegeben.

v'(x) kannst du sicherlich bestimmen.

v'(x) zu bestimmen ist etwas komplizierter. v(x) ist nämlich eine verkettete Funktion:

        v(x) = g(h(x))

mit

        h(x) = -x

und

        g(h) = e^h .

Sie muss also mit der Kettenregel abgeleitet werden.

Und Kettenregel ist: f(x)=u(v(x)) => f‘(x)=u‘(v(x))*v‘(x)

Oder mit anderen Buchstaben

        v(x)=g(h(x)) => v‘(x)=g‘(h(x))*h‘(x).

(Ich habe die Funktionen umbenannt, weil es nicht gut, die gleichen Berzeichnungen in für unterschiedliche Objekte zu verwenden).

Dabei ist

        g'(h) = e^h

also

        g'(h(x)) = e^-x .

Außerdem ist h'(x) = -1. Demanch ist

        v'(x) = e^-x · (-1) = -e^-x.

Setze u, v, u' und v' in die Produktregel ein.