Zunächst einmal musst du die ( praktisch ) gegebene Parameterform ( PF ) der Ebene in die ( explizite ) Koordinatenform ( KF ) umwandeln - warum, erkläre ich dir erst später. Um es mit ===> Aaaaschibald Wheeler zu sagen: " Der Parameter hat keine Möglichkeit, über die Ebene hinaus zu reichen. "
Die Ebene E1 hast du praktisch in der 3-Punkte-Form gegeben.
A := ( - 2 / 5 / 4 ) ; B := ( 3 / 3 / 0 ) ; C := ( 4 / 0 / - 1 ) ( 1a )
u := B - A = ( 5 | - 2 | - 4 ) ; v := C - A = ( 6 | - 5 | - 5 ) ( 1b )
T = T ( x | y | z ) € E ( 1c )
E = E ( r ; s ) = A + r u + s v = T | - A ( 1d )
In ( 1d ) beschreibe ich die Ebene E mittels des Stützpunkts A ; sie wird aufgespannt von den beiden Richtungsvektoren u und v in ( 1b )
Ich verfolge ja die Debatte; die Frage
" Wie wandelt man PF in KF um? "
wird von allen euren Lehrern; von sämtlichen Mitarbeitern dieses Forums beantwortet " mit dem Kreuzprodukt " - ein mühseliger Umweg, wie mir scheint. Bei der Konkurrenz in dem Forum ===> Ly cos tummelt sich User " der Mo " ( nicht Mo wie Montag, sondern Mo wie Mohammed ) Dieser geniale Knabe dachte sich einen Vorschlag aus - Matematik vom Feinsten. Es handelt sich um ein Vexierspiel so ähnlich wie die " Kippbilder " von ===> Markus Cornelis Escher mit den beiden Begriffen UnBESTIMMTE und UnBEKANNTE , die wir eher in getrennte Schubladen abzulegen geneigt sind.
Nicht wahr; r und s in ( 1d ) sind doch sowas wie Argumente einer Funktion, demnach Unbestimmte. Erst recht gilt das in ( 1c ) für die Koordinaten des Punktes T , der eher überflüssig und verloren in der Landschaft herum zu stehen scheint. Die Umformung in ( 1d ) habe ich wie üblich vermerkt.
r u + s v = T - A ( 2a )
Jetzt dreht Billy Mo die ganze Argumentation um. Den Punkt T nagelt er fest und erklärt ihn völlig überraschend für Gegeben und Bekannt. ( Merke: Der Unterschied zwischen sog. gegebenen und unbekannten Größen hat aber auch gar nichts damit zu tun, wonach wir tatsächlich suchen. )
Damit wird aber ( 2a ) zu einem LGS in den ( nunmehr ) beiden UnBEKANNTEN r und s . Und zwar ist die ===> Koeffizientenmatrix ( KM ) von ( 2a ) vom Format 3 X 2 und hat Rang 2 . Das ist leicht einzusehen; denn größer 2 kann dieser Rang nicht sein wegen der Forderung
" Zeilenrang = Spaltenrang "
Kleiner aber auch nicht; schließlich spannen die beiden Spaltenvektoren u und v die Ebene E auf; somit sind sie nicht ===> kollinear .
Dann tst aber die ===> erweiterte KM von ( 2a ) QUADRATISCH vom Format 3 X 3 . Nach einem Lehrsatz der AGULA muss auch sie Rang 2 haben, wenn denn ( 2a ) überhaupt eine Lösung in r und s haben soll; ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .
det ( u | v | T - A ) = 0 ( 2b )
Oft ist es pädagogisch Sinn voll, eine Sache erst mal offiziell " kanonisch " korrekt, aber kompliziert einzusehen - und erst hernach auf die einfache Tour. Die Meisten wissen nämlich gar nicht, was sich anschaulich hinter einer Determinante verbirgt: ein Spatvolumen ===> Spatprodukt
Die Aussage hinter ( 2a ) ist doch, dass der Vektor ( T - A ) in der von u und v aufgespannten Ebene liegt; die drei Vektoren u, v und ( T - A )sind ===> komplanar; das von ihnen aufgespannte Volumen ist Null.
Mit ( 2b ) habe ich die Fans von Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel bedient. Jetzt müssen wir ( 1a-c ) einsetzen in ( 2b )
| 5 6 x+2 |
det = | -2 -5 y-5 | = 0 ( 3a )
| -4 -5 z-4 |
Zum zweiten Mal treiben wir ein Vexierspiel; die in ( 1c ) rein formalen, bedeutungslosen Parameter x , y und z entpuppen sich als Koordinaten-Darstellung unserer Ebene E1 . Zur Anwendung kommt die Regel von ===> Sarrus
det = [ ( - 2 ) * ( - 5 ) - ( - 5 ) * ( - 4 ) ] ( x + 2 ) + [ 6 * ( -4 ) - 5 * ( - 5 ) ] ( y - 5 ) + [ 5 * ( - 5 ) - 6 * ( - 2 ) ] ( z - 4 ) = ( 3b )
= 10 ( x + 2 ) - ( y - 5 ) + 13 ( z - 4 ) = 0 ( 3c )
10 x - y + 13 z = 27 ( 3d ) ( Probe ! )
Ich möchte doch rechtfertigen, was wir mit unserer Strategie gewonnen haben. Wolf hat dich bereits darauf aufmerksam gemacht, dass sich zwei Ebenen in einer Geraden schneiden, der ===> Knotenlinie, wie gebildete Menschen sagen. Beispiel aus der Astronomie: Die ===> Ekliptik schneidet die Mondbahnebene in einer Knotenlinie, welche die ===> Sphäre in den ===> Drachenpunkten ( auf-und absteigendem Knoten ) durchstößt.
Du mit deiner PF hast nur EINE Gleichung mit VIER Unbekannten, indem du beide Ebenen gleich setzt:
E1 ( r1 ; s1 ) = E2 ( r2 ; s2 ) ( 4a )
Aber ich sagte es schon: KEINER dieser vier Parameter " vererbt " sich auf die Knotenlinie. Natürlich ist eine Gerade eine einparametrige ===> Mannigfaltigkeit , beschrieben durch einen Parameter, sagen wir t . Aber dieses t hat doch nichts zu schaffen mit r1;2 oder s1;2 .
Dagegen ich erhalte für E2 eine zweite Gleichung analog ( 3d )
E2 ( x ; y ; z ) = c2 ( 4b )
( 3d;4b ) sind ZWEI Gleichungen mit DREI Unbekannten. Und noch etwas; aus diesem LGS werde ich Stützpunkt und Richtungsvektor der Knotenlinie g destillieren; die kommen dann in den natürlichen Koordinaten x , y , z .
Die Chose mit der Determinante erscheint dir doch nur deshalb schwierig, weil sie dich dumm sterben lassen; weil es dir keiner " gelernt " hjat. Jetzt beim zweiten Mal weißt du ja schon, wie der Osterhase läuft; ich könnte mich überhaupt kurz fassen, wenn ihr das alle so drauf hättet wie etwa die Mitternachtsformel.
A = ( 0 / 9 / 4 ) ( 5a )
u = ( 1 | - 10 | - 4 ) ; v = ( 2 | - 13 | - 5 ) ( 5b )
| 1 2 x |
det = | -10 -13 y-9 | ( 5c )
| -4 -5 z-4 |
2 x + 3 y - 7 z = ( - 1 ) ( 5d )
Wie gesagt - das LGS ( 3d;5d ) ist zu lösen. Wenn P ein Lösungspunkt sein soll, dann gilt doch die Formel
P ( allg ) = P ( son ) + P ( hom ) ( 6 )
" Allgemeine Lösung = sonderlösung + homogene Lösung "
( max Zeichen )
